Considere as funções
e
definidas pelas expressões:
(a) Encontre os valores máximo e mínimo de
e os valores reais
em que
assume tais valores. Justifique o resultado.
(b) Encontre os valores máximo e mínimo de
e os valores reais
em que
assume tais valores. Justifique o resultado.
(c) Por que pode-se afirmar que a função
tem máximo e mínimo? Se trocarmos o domínio de
por
ainda temos máximo e mínimo?
Dica: No item (b) use identidades trigonométricas, depois substitua
e use o item (a).
(b) Encontre os valores máximo e mínimo de
(c) Por que pode-se afirmar que a função
Passo 1
O enunciado pede para encontrarmos os extremos da função quadrática
e da função trigonométrica
além de discutir existência de extremos em domínios fechados e abertos. Vamos usar derivada e concavidade para
, identidades trigonométricas para
e o Teorema de Weierstrass para a questão de existência.
Passo 2
Para
computamos a derivada
Igualando a zero,
Como o coeficiente de
em
é
, a parábola é côncava para baixo e esse ponto é um máximo. Os candidatos a mínimo são os extremos do intervalo,
e
.
Passo 3
Calculamos os valores:
Logo o máximo é
em
e o mínimo é
em
.
Passo 4
Para
usamos
, obtendo
Se definirmos
, então
e
Pelo item (a),
atinge máximo
quando
, ou seja
e mínimo
quando
, isto é
Passo 5
A função
é contínua em
, que é compacto, e pelo Teorema de Weierstrass qualquer função contínua em conjunto compacto atinge máximo e mínimo. Se mudarmos o domínio para
, ele deixa de ser fechado (não é compacto) e o valor mínimo
(ocorrido em
) não pertence a
, logo o mínimo não é atingido. O máximo em
continua sendo atingido pois fica no interior.
Resposta
(a)
em
;
em
.
(b) para
ou
;
para
.
(c) Em o domínio é compacto e
contínua, logo atinge extremos. Em
o mínimo exigido em
não está no domínio, portanto não há mínimo.
(b)
(c) Em