Mostre que se
é uma função par e é derivável para todo
, então
é uma função ímpar. Mostre também que se
é ímpar e derivável para todo
, então
é uma função par.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar duas coisas usando definição de função par/ímpar e regra da cadeia:
- Se
é par ( ) e derivável em todo , então a sua derivada é ímpar. - Se
é ímpar ( ) e derivável em todo , então a sua derivada é par.
Passo 2
Como
é par, temos
Derivando ambos os lados em relação a
, aplicamos a regra da cadeia no lado esquerdo:
enquanto no lado direito
Igualando as derivadas obtidas, vem
o que é exatamente a condição de
ser função ímpar.
Passo 3
Como
é ímpar, vale
Derivando ambos os lados em relação a
e usando regra da cadeia no lado esquerdo:
e no lado direito
Portanto
que é a definição de
ser função par.
Resposta
Dessa forma mostramos que