Mostre que se f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} é uma função par e é derivável para todo x \in \mathbb{R}, então f^{\prime}(x) é uma função ímpar. Mostre também que se g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} é ímpar e derivável para todo x \in \mathbb{R}, então g^{\prime} é uma função par.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar duas coisas usando definição de função par/ímpar e regra da cadeia:
  1. Se f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R} é par ( f(-x)=f(x)) e derivável em todo x, então a sua derivada f' é ímpar.
  2. Se g\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R} é ímpar ( g(-x)=-g(x)) e derivável em todo x, então a sua derivada g' é par.

Passo 2

Como f é par, temos
f(-x)=f(x)\quad\text{para todo }x\in\mathbb{R}.
Derivando ambos os lados em relação a x, aplicamos a regra da cadeia no lado esquerdo:
\frac{d}{dx}\bigl(f(-x)\bigr) = f'(-x)\,\frac{d}{dx}(-x) = -\,f'(-x),
enquanto no lado direito
\frac{d}{dx}\bigl(f(x)\bigr)=f'(x).
Igualando as derivadas obtidas, vem
-\,f'(-x)=f'(x) \quad\Longrightarrow\quad f'(-x)=-\,f'(x),
o que é exatamente a condição de f' ser função ímpar.

Passo 3

Como g é ímpar, vale
g(-x)=-\,g(x)\quad\text{para todo }x\in\mathbb{R}.
Derivando ambos os lados em relação a x e usando regra da cadeia no lado esquerdo:
\frac{d}{dx}\bigl(g(-x)\bigr) = g'(-x)\,\frac{d}{dx}(-x) = -\,g'(-x),
e no lado direito
\frac{d}{dx}\bigl(-\,g(x)\bigr) = -\,g'(x).
Portanto
-\,g'(-x)=-\,g'(x) \quad\Longrightarrow\quad g'(-x)=g'(x),
que é a definição de g' ser função par.

Resposta

Dessa forma mostramos que
\text{se \(f\) é par, então \(f'\) é ímpar;} \quad \text{se \(g\) é ímpar, então \(g'\) é par.}éãéíéíãé

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