(2, 0 valores) Calcule \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{\operatorname{sen} x}{x} d x com exactidão até 0,0001
Passo 1
O enunciado pede para aproximar
\int_{0}^{\tfrac12}\frac{\sin x}{x}\,dx
com exatidão até 0,0001. Vamos usar a expansão em série de Maclaurin de \sin x, depois dividir por x, integrar termo a termo e empregar o critério do resto para séries alternadas para garantir o erro desejado.
Passo 2
Recordando a série de Maclaurin de \sin x:
\sin x = \sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}.
que é decrescente em k e tende a zero. Pelo critério do resto na série alternada, o erro ao truncar após k=n é no máximo \bigl|a_{n+1}\bigr|. Queremos \bigl|a_{n+1}\bigr|\le0,0001.