1. a) ( 1,5 valores) Sabe-se que f(x)=\operatorname{sen}\left(x^{4}+2 x^{3}+1\right) é uma função analítica em \mathbb{R}, tal que admite o desenvolvimento em série de Taylor.
    ( 1,5 valores) Desenvolve a função g(x)=x^{2} \operatorname{arctg}(5 x) em séries de Maclaurin, e determine o coeficiente antes de x^{7} desta série.

Passo 1

O enunciado pede para desenvolver a série de Maclaurin da função
g(x)=x^{2}\,\operatorname{arctg}(5x)
e, a partir daí, encontrar o coeficiente do termo x^{7}. O conteúdo que vamos usar é a série de Maclaurin de \operatorname{arctg}u e operações sobre séries formais.

Passo 2

Lembrando a expansão em série de Maclaurin para \displaystyle \operatorname{arctg}u, temos
\operatorname{arctg}u \;=\;\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\,\frac{u^{2n+1}}{2n+1},
válida para \lvert u\rvert\le1.

Passo 3

Substituindo u=5x e multiplicando por x^{2}, obtemos
g(x) = x^{2}\,\operatorname{arctg}(5x) = x^{2}\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{(5x)^{2n+1}}{2n+1} = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{5^{2n+1}}{2n+1}\,x^{2n+3}.
Para ver os primeiros termos até x^{7}, basta escolher n=0,1,2:
g(x)=5\,x^{3}-\frac{5^{3}}{3}\,x^{5}+\frac{5^{5}}{5}\,x^{7}+\cdots =5x^{3}-\frac{125}{3}x^{5}+625\,x^{7}+\cdots.

Passo 4

O coeficiente do termo x^{7} corresponde a n tal que 2n+3=7, ou seja n=2. Calculamos então
(-1)^{2}\frac{5^{2\cdot2+1}}{2\cdot2+1} =\frac{5^{5}}{5} =\;5^{4} =\;625.

Resposta

O coeficiente de x^{7} na série de Maclaurin de g(x) é 625.

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