Para quais valores de a \in \mathbb{N}
a-2 \mid a^{4}+2 a^{3}+a^{2}+1 ?

Passo 1

O enunciado pede os naturais a tais que a-2 divide o inteiro
P(a)=a^{4}+2a^{3}+a^{2}+1.
O conteúdo é o teorema do resto (ou avaliação polinomial): para qualquer polinômio P(x), o resto de P(x) pela divisão por x-r é P(r). Aqui vamos usar isso com r=2.

Passo 2

Pelo teorema do resto, o resto da divisão de P(a) por (a-2) é
P(2)=2^{4}+2\cdot2^{3}+2^{2}+1=16+16+4+1=37.
Logo, para todo a, existe um polinômio Q(a) tal que
P(a) = (a-2)\,Q(a) + 37.
Dessa forma, (a-2)\mid P(a) ocorre se, e somente se, (a-2)\mid 37.

Passo 3

Os divisores inteiros de 37 são \pm1 e \pm37. Como queremos a\in\mathbb{N} e o divisor a-2 não pode ser zero, investigamos:
a-2 = 1 \implies a=3, \qquad a-2 = 37 \implies a=39.
(Se considerássemos divisores negativos, teríamos a-2=-1\implies a=1, mas aí o divisor é -1, o que costuma ser visto como caso trivial.)

Resposta

Os valores de a\in\mathbb{N}, com a\neq2, que satisfazem a divisibilidade são
3 e 39.

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