1. Explique por que o processo de Gram-Schmidt sempre produz vetores ortogonais linearmente independentes.

Passo 1

O enunciado pede para explicar por que, dado um conjunto de vetores linearmente independentes \{v_1,v_2,\dots,v_n\} num espaço com produto interno, o procedimento de Gram–Schmidt gera um novo conjunto \{u_1,u_2,\dots,u_n\} que é ortogonal e mantém a independência linear. O conteúdo aqui é ortogonalização por projeções sucessivas, e vamos precisar das propriedades do produto interno e de argumentos sobre dependência linear.

Passo 2

O processo começa definindo
u_1 = v_1,
e, para cada k=2,3,\dots,n, calcula-se o vetor intermediário
w_k \;=\; v_k \;-\;\sum_{j=1}^{k-1}\frac{\langle v_k,\,u_j\rangle}{\langle u_j,\,u_j\rangle}\,u_j,
e então escolhe-se
u_k = w_k.
Na prática isso remove de v_k todas as componentes ao longo dos vetores já construídos u_1,\dots,u_{k-1}.

Passo 3

Vamos ver por que u_k é ortogonal a cada u_j com j<k. Para isso, calcule
\langle w_k,\,u_j\rangle =\Big\langle v_k - \sum_{i=1}^{k-1}\frac{\langle v_k,u_i\rangle}{\langle u_i,u_i\rangle}u_i,\;u_j\Big\rangle =\langle v_k,u_j\rangle -\sum_{i=1}^{k-1}\frac{\langle v_k,u_i\rangle}{\langle u_i,u_i\rangle}\langle u_i,u_j\rangle.
Mas como \{u_i\} para i<k já são ortogonais entre si, \langle u_i,u_j\rangle=0 sempre que i\neq j. Logo só resta
\langle w_k,\,u_j\rangle =\langle v_k,u_j\rangle -\frac{\langle v_k,u_j\rangle}{\langle u_j,u_j\rangle}\langle u_j,u_j\rangle =0.
Isto prova que cada u_k é ortogonal a todos os u_j com j<k.

Passo 4

Agora mostramos que u_k\neq0. Se por absurdo u_k=w_k=0, então
v_k = \sum_{j=1}^{k-1}\frac{\langle v_k,u_j\rangle}{\langle u_j,u_j\rangle}\,u_j,
o que implica que v_k está no span \{u_1,\dots,u_{k-1}\}. Mas como cada u_j para j<k foi obtido de um v_j sem introduzir dependências novas, esse span coincide com span \{v_1,\dots,v_{k-1}\}. Assim v_k seria combinação linear de v_1,\dots,v_{k-1}, contradizendo a hipótese de independência de \{v_1,\dots,v_n\}. Portanto u_k\neq0.

Passo 5

Concluímos que o conjunto \{u_1,\dots,u_n\} é formado por vetores não nulos, mutuamente ortogonais. Num espaço com produto interno, qualquer conjunto ortogonal de vetores não nulos é necessariamente linearmente independente. Logo o Gram–Schmidt produz sempre vetores ortogonais e mantém a independência linear do conjunto inicial.

Resposta

O Gram–Schmidt gera recursivamente
u_1 = v_1,\quad u_k = v_k - \sum_{j=1}^{k-1}\frac{\langle v_k,u_j\rangle}{\langle u_j,u_j\rangle}\,u_j,
e prova-se que cada u_k é ortogonal aos anteriores e não nulo, garantindo assim que \{u_1,\dots,u_n\} seja ortogonal e linearmente independente.

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