- Explique por que o processo de Gram-Schmidt sempre produz vetores ortogonais linearmente independentes.
Passo 1
O enunciado pede para explicar por que, dado um conjunto de vetores linearmente independentes
num espaço com produto interno, o procedimento de Gram–Schmidt gera um novo conjunto
que é ortogonal e mantém a independência linear. O conteúdo aqui é ortogonalização por projeções sucessivas, e vamos precisar das propriedades do produto interno e de argumentos sobre dependência linear.
Passo 2
O processo começa definindo
e, para cada
, calcula-se o vetor intermediário
e então escolhe-se
Na prática isso remove de
todas as componentes ao longo dos vetores já construídos
.
Passo 3
Vamos ver por que
é ortogonal a cada
com
. Para isso, calcule
Mas como
para
já são ortogonais entre si,
sempre que
. Logo só resta
Isto prova que cada
é ortogonal a todos os
com
.
Passo 4
Agora mostramos que
. Se por absurdo
, então
o que implica que
está no span
. Mas como cada
para
foi obtido de um
sem introduzir dependências novas, esse span coincide com span
. Assim
seria combinação linear de
, contradizendo a hipótese de independência de
. Portanto
.
Passo 5
Concluímos que o conjunto
é formado por vetores não nulos, mutuamente ortogonais. Num espaço com produto interno, qualquer conjunto ortogonal de vetores não nulos é necessariamente linearmente independente. Logo o Gram–Schmidt produz sempre vetores ortogonais e mantém a independência linear do conjunto inicial.
Resposta
O Gram–Schmidt gera recursivamente
e prova-se que cada
é ortogonal aos anteriores e não nulo, garantindo assim que
seja ortogonal e linearmente independente.