Para que valores de k a equação 2 x^2+k x+ 2=0 possui duas raízes reais e iguais?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para descobrir para quais valores de $ k $ a equação quadrática $ 2x^{2} + kx + 2 = 0 $ tem duas raízes reais e iguais. Isso está relacionado ao estudo das equações do segundo grau, onde usamos o discriminante para saber o tipo de raízes que a equação possui.

Passo 2

Primeiro, lembremos que uma equação do segundo grau tem a forma geral:
ax^2 + bx + c = 0
No nosso caso, $ a = 2 $, $ b = k $ e $ c = 2 $.

Passo 3

Para determinar o tipo de raízes, usamos o discriminante ($ \Delta $), que é calculado pela fórmula:
De
As regras são:
  • Se $ \Delta > 0 $: duas raízes reais e diferentes.
  • Se $ \Delta = 0 $: duas raízes reais e iguais.
  • Se $ \Delta < 0 $: raízes complexas (não reais).

Passo 4

Queremos que a equação tenha duas raízes reais e iguais, então precisamos que o discriminante seja igual a zero:
De

Passo 5

Vamos substituir os valores de $ a $, $ b $ e $ c $ na fórmula do discriminante:
a
b

Passo 6

Agora, resolvemos a equação para $ k $:
k
k^2 = 16
k = pm raiz16

Resposta

Os valores de $ k $ que fazem a equação $ 2x^{2} + kx + 2 = 0 $ ter duas raízes reais e iguais são $ k = 4 $ e $ k = -4 $.

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