Para que valores de
a equação
possui duas raízes reais e iguais?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para descobrir para quais valores de $ k $ a equação quadrática $ 2x^{2} + kx + 2 = 0 $ tem duas raízes reais e iguais. Isso está relacionado ao estudo das equações do segundo grau, onde usamos o discriminante para saber o tipo de raízes que a equação possui.
Passo 2
Primeiro, lembremos que uma equação do segundo grau tem a forma geral:
No nosso caso, $ a = 2 $, $ b = k $ e $ c = 2 $.
Passo 3
Para determinar o tipo de raízes, usamos o discriminante ($ \Delta $), que é calculado pela fórmula:
As regras são:
- Se $ \Delta > 0 $: duas raízes reais e diferentes.
- Se $ \Delta = 0 $: duas raízes reais e iguais.
- Se $ \Delta < 0 $: raízes complexas (não reais).
Passo 4
Queremos que a equação tenha duas raízes reais e iguais, então precisamos que o discriminante seja igual a zero:
Passo 5
Vamos substituir os valores de $ a $, $ b $ e $ c $ na fórmula do discriminante:
Passo 6
Agora, resolvemos a equação para $ k $:
Resposta
Os valores de $ k $ que fazem a equação $ 2x^{2} + kx + 2 = 0 $ ter duas raízes reais e iguais são $ k = 4 $ e $ k = -4 $.