- Diga se cada uma das afirmações a seguir é verdadeira ou falsa. Justifique:
a) Se r e s são perpendiculares a t, então r e s são paralelas.
b) Se uma reta é perpendicular a duas retas distintas de um plano, então ela é perpendicular ao plano.
c) Se duas retas reversas são paralelas a um plano, então toda reta perpendicular a elas é perpendicular ao plano.
d) Se duas retas paralelas entre si são paralelas a um plano, então toda reta perpendicular a elas é perpendicular ao plano.
e) Dadas duas retas reversas, sempre existe um plano perpendicular a ambas.
f) Se
, então
.
a) Se r e s são perpendiculares a t, então r e s são paralelas.
b) Se uma reta é perpendicular a duas retas distintas de um plano, então ela é perpendicular ao plano.
c) Se duas retas reversas são paralelas a um plano, então toda reta perpendicular a elas é perpendicular ao plano.
d) Se duas retas paralelas entre si são paralelas a um plano, então toda reta perpendicular a elas é perpendicular ao plano.
e) Dadas duas retas reversas, sempre existe um plano perpendicular a ambas.
f) Se
Passo 1
O enunciado pede para verificar se cada afirmação sobre retas e planos no espaço é verdadeira ou falsa, usando conceitos de paralelismo e perpendicularidade entre retas e planos.
Passo 2
a) “Se
e
são perpendiculares a
, então
e
são paralelas.”
Contraexemplo: considere em a reta
ao longo do eixo
. Seja
Contraexemplo: considere em
ambas perpendiculares ao eixo
, mas uma está no plano
e outra no plano
. Essas retas não se cruzam e não são paralelas (são reversas). Logo a afirmação é falsa.
Passo 3
b) “Se uma reta é perpendicular a duas retas distintas de um plano, então ela é perpendicular ao plano.”
Propriedade clássica: se uma reta é perpendicular a duas retas
e
que se cruzam num ponto
de um plano
, então
é perpendicular a todo vetor do plano em
, logo
. Portanto a afirmação é verdadeira.
Propriedade clássica: se uma reta
Passo 4
c) “Se duas retas reversas são paralelas a um plano, então toda reta perpendicular a elas é perpendicular ao plano.”
Se e
são reversas e ambas paralelas ao plano
, seus vetores-direção
e
estão em
e são linearmente independentes. Uma reta
perpendicular a
e a
tem vetor-direção
tal que
Se
Como
geram todo o subespaço direcional de
, temos
, isto é,
. Logo a afirmação é verdadeira.
Passo 5
d) “Se duas retas paralelas entre si são paralelas a um plano, então toda reta perpendicular a elas é perpendicular ao plano.”
Se e uma reta
é perpendicular a
(e a
), seu vetor-direção
satisfaz
, onde
é o vetor-direção comum de
e
. Mas
pode estar contido em
(basta escolher
perpendicular a
mas ainda dentro de
). Nesse caso
. Portanto a afirmação é falsa.
Se
Passo 6
e) “Dadas duas retas reversas, sempre existe um plano perpendicular a ambas.”
Em duas retas reversas
e
possuem uma única reta
comum perpendicular (a distância mínima entre elas). Qualquer plano
que contenha
intersecta
e
nos pontos de projeção ortogonal e contém a reta perpendicular a cada uma nessa interseção. Assim
é perpendicular a
e a
. Logo a afirmação é verdadeira.
Em
Passo 7
f) “Se
,
e
, então
.”
Como , ambos têm mesmo vetor-direção
. Se o plano
é perpendicular a
, então sua normal
é paralelo a
; de modo análogo
. Dois planos cujos normais são paralelos são planos paralelos (ou coincidentes). Logo
e a afirmação é verdadeira.
Como
Resposta
a) F
b) V
c) V
d) F
e) V
f) V
b) V
c) V
d) F
e) V
f) V