1. Diga se cada uma das afirmações a seguir é verdadeira ou falsa. Justifique:
    a) Se r e s são perpendiculares a t, então r e s são paralelas.
    b) Se uma reta é perpendicular a duas retas distintas de um plano, então ela é perpendicular ao plano.
    c) Se duas retas reversas são paralelas a um plano, então toda reta perpendicular a elas é perpendicular ao plano.
    d) Se duas retas paralelas entre si são paralelas a um plano, então toda reta perpendicular a elas é perpendicular ao plano.
    e) Dadas duas retas reversas, sempre existe um plano perpendicular a ambas.
    f) Se r | s, alpha perp r e beta perp s, então beta | alpha.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se cada afirmação sobre retas e planos no espaço é verdadeira ou falsa, usando conceitos de paralelismo e perpendicularidade entre retas e planos.

Passo 2

a) “Se r e s são perpendiculares a t, então r e s são paralelas.”
Contraexemplo: considere em R^3 a reta t ao longo do eixo z. Seja
rcolon (x,0,0)e scolon (0,y,1),
ambas perpendiculares ao eixo z, mas uma está no plano z=0 e outra no plano z=1. Essas retas não se cruzam e não são paralelas (são reversas). Logo a afirmação é falsa.

Passo 3

b) “Se uma reta é perpendicular a duas retas distintas de um plano, então ela é perpendicular ao plano.”
Propriedade clássica: se uma reta u é perpendicular a duas retas v e w que se cruzam num ponto P de um plano pi, então u é perpendicular a todo vetor do plano em P, logo uperppi. Portanto a afirmação é verdadeira.

Passo 4

c) “Se duas retas reversas são paralelas a um plano, então toda reta perpendicular a elas é perpendicular ao plano.”
Se r e s são reversas e ambas paralelas ao plano pi, seus vetores-direção u e v estão em pi e são linearmente independentes. Uma reta m perpendicular a r e a s tem vetor-direção w tal que
wperp u e wperp v
Como u, v geram todo o subespaço direcional de pi, temos wperppi, isto é, mperppi. Logo a afirmação é verdadeira.

Passo 5

d) “Se duas retas paralelas entre si são paralelas a um plano, então toda reta perpendicular a elas é perpendicular ao plano.”
Se rparal<=l sparal<=lpi e uma reta m é perpendicular a r (e a s), seu vetor-direção w satisfaz wperp u, onde u é o vetor-direção comum de r e s. Mas w pode estar contido em pi (basta escolher w perpendicular a u mas ainda dentro de pi). Nesse caso mnotperppi. Portanto a afirmação é falsa.

Passo 6

e) “Dadas duas retas reversas, sempre existe um plano perpendicular a ambas.”
Em R^3 duas retas reversas r e s possuem uma única reta m comum perpendicular (a distância mínima entre elas). Qualquer plano alpha que contenha m intersecta r e s nos pontos de projeção ortogonal e contém a reta perpendicular a cada uma nessa interseção. Assim alpha é perpendicular a r e a s. Logo a afirmação é verdadeira.

Passo 7

f) “Se r paral<=l s, alpha perp r e beta perp s, então beta paral<=l alpha.”
Como rparal<=l s, ambos têm mesmo vetor-direção u. Se o plano alpha é perpendicular a r, então sua normal nalpha é paralelo a u; de modo análogo nbetaparal<=l u. Dois planos cujos normais são paralelos são planos paralelos (ou coincidentes). Logo betaparal<=lalpha e a afirmação é verdadeira.

Resposta

a) F
b) V
c) V
d) F
e) V
f) V

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