Para quais valores de a as matrizes abaixo são diagonalizáveis?
a) \mathbf{A}=\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\\\ 0 & a\end{array}\right]
Passo 1
O enunciado dá a matriz \mathbf{A}=\begin{pmatrix}1 & 1 \\[4pt] 0 & a\end{pmatrix} (matriz 2\times2) e pede: para quais valores de a a matriz é diagonalizável? \n
Informações relevantes dadas: \n
A matriz é triangular superior, com entradas diagonais 1 e a. \n
A incógnita é o parâmetro real (ou complexo) a. \n
A pergunta exige determinar os valores de a para os quais existe uma matriz invertível P tal que P^{-1}\mathbf{A}P é diagonal.]
Passo 2
O que significa “diagonalizável” (explicação didática): \n
Uma matriz n\times n é diagonalizável se existem n vetores próprios (autovetores) linearmente independentes. Cada autovetor corresponde a um autovalor (valor próprio). \n
Conceitos importantes (explicados): \n
Autovalor (autovalor) \lambda: número tal que existe vetor não-nulo v com \mathbf{A}v=\lambda v. \n
Autovetor (autovetor) correspondente a \lambda: vetor v\neq0 que satisfaz \mathbf{A}v=\lambda v. \n
Multiplicidade algébrica de \lambda: multiplicidade de \lambda como raiz do polinômio característico. \n
Multiplicidade geométrica de \lambda: dimensão do espaço próprio (o conjunto dos autovetores associados a \lambda, incluindo o vetor zero). \n
Regra prática para 2\times2: \n
Se os dois autovalores são distintos, já temos dois autovetores linearmente independentes e a matriz é diagonalizável. \n
Se há autovalor duplo (repetido), a matriz só será diagonalizável se a multiplicidade geométrica for 2 (ou seja, existir uma base inteira formada por autovetores — na prática, precisamos de dois autovetores independentes). \n
Vou aplicar esses conceitos ao caso concreto.
Passo 3
Calcular os autovalores (polinômio característico). \n
O polinômio característico é \det(\mathbf{A}-\lambda I). Como \mathbf{A} é triangular superior, o determinante é produto dos termos diagonais de \mathbf{A}-\lambda I. \n
Conclusão imediata: se a\neq 1 os autovalores são distintos; se a=1 o autovalor 1 é duplo.
Passo 4
Caso a\neq 1: autovalores distintos \Rightarrow matriz diagonalizável. \n
Explicação prática e construção explícita de autovetores (para fixar a ideia): \n
Para \lambda=1, resolvemos (\mathbf{A}-I)v=0. \mathbf{A}-I=\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt] 0 & a-1\end{pmatrix}.
A equação (\mathbf{A}-I)v=0 com v=(x,y)^T dá 0\cdot x + 1\cdot y =0, ou seja y=0. Assim os autovetores associados a \lambda=1 são todos os vetores da forma \begin{pmatrix}x\\[4pt]0\end{pmatrix} com x\neq0. Podemos escolher v_1=\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix}. \n
Para \lambda=a (e aqui usamos a\neq1 para que seja diferente de 1), resolvemos (\mathbf{A}-aI)v=0. \mathbf{A}-aI=\begin{pmatrix}1-a & 1\\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}.
A equação dá (1-a)x + y = 0, ou y=(a-1)x. Então os autovetores são da forma \begin{pmatrix}x\\[4pt](a-1)x\end{pmatrix} com x\neq0. Podemos escolher v_2=\begin{pmatrix}1\\[4pt]a-1\end{pmatrix}. \n
Verificação da independência linear: \n
Os vetores v_1 e v_2 formam a matriz cujas colunas são eles: \begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]0 & a-1\end{pmatrix}. O determinante é (1)(a-1)-0\cdot1 = a-1\neq0 quando a\neq1. Logo são linearmente independentes. \n
Portanto, para a\neq1 a matriz tem dois autovetores independentes e é diagonalizável.]
Passo 5
Caso a=1: autovalor duplo; verificar multiplicidade geométrica. \n
Se a=1 então \mathbf{A}=\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}. Calculamos o espaço próprio de \lambda=1 resolvendo (\mathbf{A}-I)v=0: \mathbf{A}-I=\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix}.
A equação com v=(x,y)^T dá y=0 (primeira linha) e a segunda linha não impõe restrição adicional. Portanto os autovetores são todos os vetores da forma \begin{pmatrix}x\\[4pt]0\end{pmatrix} (com x\neq0), ou seja o espaço próprio tem dimensão 1. \n
Como a multiplicidade algébrica de \lambda=1 é 2 (raiz dupla) mas a multiplicidade geométrica é 1, não há dois autovetores linearmente independentes e, portanto, a matriz não é diagonalizável quando a=1.]
Passo 6
Conclusão final e observação curta: \n
Para a\neq1 a matriz tem dois autovalores distintos e dois autovetores independentes, logo é diagonalizável. \n
Para a=1 a matriz tem autovalor único com espaço próprio de dimensão 1, logo não é diagonalizável.