Para que valores de k, t as matrizes dadas admitem inversa?
\mathrm{B}=\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 1 \\\\ 1 & k+3 & 2 \\\\ 2 & 4 & t\end{array}\right] \quad {sug: use o método de Gauss - Jordan]

Passo 1

O enunciado dá a matriz
B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1\\\\ 1 & k+3 & 2\\\\ 2 & 4 & t \end{pmatrix}
e pede para encontrarmos os valores de k e t para os quais B é invertível.
Conteúdo usado: uma matriz quadrada é invertível se, e somente se, seu determinante for diferente de zero. Vamos aplicar eliminação de Gauss–Jordan para triangularizar B e ver quando todos os pivôs são não nulos.

Passo 2

Usamos como pivô o elemento b_{11}=1 e eliminamos abaixo:
subtraímos a primeira linha da segunda
\text{R}_2\leftarrow \text{R}_2 - \text{R}_1
e subtraímos duas vezes a primeira linha da terceira
\text{R}_3\leftarrow \text{R}_3 - 2\,\text{R}_1.
Isso leva a
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1\\\\ 0 & (k+3)-2 & 2-1\\\\ 0 & 4-4 & t-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1\\\\ 0 & k+1 & 1\\\\ 0 & 0 & t-2 \end{pmatrix}.

Passo 3

A matriz ficou triangular superior, com pivôs na diagonal principal
1,\quad k+1,\quad t-2.
O determinante de uma matriz triangular é o produto desses três pivôs, ou seja,
\det(B) = 1\cdot(k+1)\cdot(t-2).

Passo 4

Para B ser invertível, precisamos de \det(B)\neq 0. Logo devemos ter
k+1 \neq 0 \quad\text{e}\quad t-2 \neq 0.
Isso implica
k \neq -1 \quad\text{e}\quad t \neq 2.

Resposta

B admite inversa exatamente quando
k \neq -1 \quad\text{e}\quad t \neq 2.

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