Dados os inteiros
e
consecutivos com
, mostre que
.
Passo 1
O enunciado dá que
e
são inteiros consecutivos com
. O que se pede é mostrar a igualdade
Passo 2
Explicar o que significa “inteiros consecutivos”: dois inteiros são consecutivos quando a diferença entre eles é
. Como
e são consecutivos, podemos escrever explicitamente
Isto é só a definição reaplicada de forma algébrica.
Passo 3
Substituir
na expressão
para escrever o lado esquerdo em função de
:
Passo 4
Expandir o quadrado e igualar à expressão dada no enunciado:
Ao expandir o lado esquerdo obtemos
Passo 5
Cancelar termos iguais em ambos os lados. Subtraindo
de ambos os lados fica
Isso implica
A operação de subtrair
de ambos os lados é válida porque estamos trabalhando com iguais e preservamos a igualdade.
Passo 6
Encontrado
, usar
para obter
Verificação rápida:
e
, portanto a igualdade fica satisfeita.
Passo 7
Conclusão sobre unicidade: a equação que apareceu ao substituir é linear em
, portanto tem solução única. Assim o único par de inteiros consecutivos
que satisfaz a igualdade do enunciado é
.