Dados os inteiros x e y consecutivos com x<y, mostre que y^{2}=x^{2}+x+1.

Passo 1

O enunciado dá que x e y são inteiros consecutivos com x<y. O que se pede é mostrar a igualdade
y^{2}=x^{2}+x+1.

Passo 2

Explicar o que significa “inteiros consecutivos”: dois inteiros são consecutivos quando a diferença entre eles é 1. Como x<y e são consecutivos, podemos escrever explicitamente
y = x + 1.
Isto é só a definição reaplicada de forma algébrica.

Passo 3

Substituir y=x+1 na expressão y^{2} para escrever o lado esquerdo em função de x:
y^{2}=(x+1)^{2}.

Passo 4

Expandir o quadrado e igualar à expressão dada no enunciado:
(x+1)^{2}=x^{2}+x+1.
Ao expandir o lado esquerdo obtemos
x^{2}+2x+1=x^{2}+x+1.

Passo 5

Cancelar termos iguais em ambos os lados. Subtraindo x^{2}+1 de ambos os lados fica
2x=x.
Isso implica
x=0.
A operação de subtrair x^{2}+1 de ambos os lados é válida porque estamos trabalhando com iguais e preservamos a igualdade.

Passo 6

Encontrado x=0, usar y=x+1 para obter
y=0+1=1.
Verificação rápida: y^{2}=1^{2}=1 e x^{2}+x+1=0^{2}+0+1=1, portanto a igualdade fica satisfeita.

Passo 7

Conclusão sobre unicidade: a equação que apareceu ao substituir é linear em x, portanto tem solução única. Assim o único par de inteiros consecutivos (x,y) que satisfaz a igualdade do enunciado é (0,1).

Resposta

x=0,\\ y=1

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