Para quais valores de “p” a série é convergente?
Passo 1
O enunciado nos dá a série numérica
e pede para quais valores de
essa série é convergente.
Informações relevantes que temos:
Informações relevantes que temos:
- A soma é feita para
inteiro com . - O termo geral é
, que depende de um parâmetro real .
A pergunta única: determinar o conjunto de valores depara os quais a série converge.
Passo 2
Vamos usar o Teste da Integral (também chamado teste integral) porque ele é direto para séries cujos termos vêm de uma função decrescente positiva do tipo
. Vou explicar o teste com calma.
Enunciado do Teste da Integral (versão usada aqui): seja
contínua, positiva e decrescente. Defina
. Então a série
converge se, e somente se, a integral imprópria
converge (ou seja, tem valor finito).
No nosso caso escolhemos
. Antes de aplicar, verificamos as hipóteses:
- Para
e qualquer tal que seja positivo (o que é sempre verdade), . - Para valores reais de
, é contínua para . - Para
, é decrescente em . (Se os termos nem tendem a zero, e isso já indica divergência; depois eu mostro isso com mais clareza.)
Assim a aplicação do teste integral é adequada especialmente para; para outros eu discutirei separadamente.
Passo 3
Calcular a integral imprópria
Primeiro trato do caso
. A primitiva de
(para
) é
porque ao derivar
obtém-se
. Aqui
é o expoente novo e
quando
.
Agora avaliamos a integral imprópria como limite:
Analisamos o comportamento de
quando
:
- Se
(ou seja, se ), então quando . Assim o limite é finito:
que é finito. Portanto, para
a integral converge.
- Se
(ou seja, ), então quando . Assim a integral diverge (vai para ). Portanto para a integral diverge.
Pelo Teste da Integral, para
a série
converge, e para
ela diverge.
Passo 4
Falta tratar o caso
. Para
a série é
a famosa série harmônica. Aplicando a integral,
logo a integral diverge. Pelo Teste da Integral, a série harmônica diverge.
Também vale dar uma prova discreta muito simples da divergência da série harmônica (para fixar a intuição): agrupe os termos assim
Note que em cada grupo a soma é maior ou igual a
:
-
é . -
. -
. -
quatro vezes . - Em geral, o bloco com
termos tem cada termo , então a soma do bloco .
Assim somando blocos obtemos uma soma que cresce sem limite (soma de infinitos), logo a série diverge. Isso mostra de forma simples por que dá divergência.
Passo 5
Comentário adicional e interpretação intuitiva: quando
os termos
decaem “rápido o suficiente” para que as parcelas somadas fiquem pequenas rápido e a soma total seja finita; quando
o decaimento é lento demais e a soma explode. Exemplos:
- Para
a série converge (é a série de Basel; converge para , mas o valor numérico não era pedido). - Para
a série diverge, porque decai lentamente.
Resposta
A série converge se, e somente se,
.
Para a série diverge.
Para