Para quais valores de “p” a série é convergente?
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{p}}

Passo 1

O enunciado nos dá a série numérica
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{p}}
e pede para quais valores de p essa série é convergente.
Informações relevantes que temos:
  • A soma é feita para n inteiro com n\ge 1.
  • O termo geral é a_n=\dfrac{1}{n^{p}}, que depende de um parâmetro real p.
    A pergunta única: determinar o conjunto de valores de p\in\mathbb{R} para os quais a série converge.

Passo 2

Vamos usar o Teste da Integral (também chamado teste integral) porque ele é direto para séries cujos termos vêm de uma função decrescente positiva do tipo f(n)=n^{-p}. Vou explicar o teste com calma.
Enunciado do Teste da Integral (versão usada aqui): seja f:(1,\infty)\to(0,\infty) contínua, positiva e decrescente. Defina a_n=f(n). Então a série \sum_{n=1}^{\infty} a_n converge se, e somente se, a integral imprópria
\int_{1}^{\infty} f(x)\,dx
converge (ou seja, tem valor finito).
No nosso caso escolhemos f(x)=x^{-p}. Antes de aplicar, verificamos as hipóteses:
  • Para x\ge1 e qualquer p\in\mathbb{R} tal que x^{-p} seja positivo (o que é sempre verdade), f(x)>0.
  • Para valores reais de p, f é contínua para x>0.
  • Para p>0, f é decrescente em x\ge1. (Se p\le0 os termos nem tendem a zero, e isso já indica divergência; depois eu mostro isso com mais clareza.)
    Assim a aplicação do teste integral é adequada especialmente para p>0; para outros p eu discutirei separadamente.

Passo 3

Calcular a integral imprópria
\int_{1}^{\infty} x^{-p}\,dx.
Primeiro trato do caso p\neq 1. A primitiva de x^{-p} (para p\neq1) é
\int x^{-p}\,dx = \frac{x^{1-p}}{1-p} + C,
porque ao derivar \dfrac{x^{1-p}}{1-p} obtém-se x^{-p}. Aqui 1-p é o expoente novo e 1-p\neq 0 quando p\neq1.
Agora avaliamos a integral imprópria como limite:
\int_{1}^{\infty} x^{-p}\,dx = \lim_{b\to\infty} \int_{1}^{b} x^{-p}\,dx = \lim_{b\to\infty} \left[\frac{x^{1-p}}{1-p}\right]_{x=1}^{x=b} = \lim_{b\to\infty} \frac{b^{1-p}-1}{1-p}.
Analisamos o comportamento de b^{1-p} quando b\to\infty:
  • Se 1-p<0 (ou seja, se p>1), então b^{1-p}\to 0 quando b\to\infty. Assim o limite é finito:
\lim_{b\to\infty} \frac{b^{1-p}-1}{1-p} = \frac{0-1}{1-p} = \frac{1}{p-1},
que é finito. Portanto, para p>1 a integral converge.
  • Se 1-p>0 (ou seja, p<1), então b^{1-p}\to\infty quando b\to\infty. Assim a integral diverge (vai para +\infty). Portanto para p<1 a integral diverge.
Pelo Teste da Integral, para p>1 a série \sum 1/n^p converge, e para p<1 ela diverge.

Passo 4

Falta tratar o caso p=1. Para p=1 a série é
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n},
a famosa série harmônica. Aplicando a integral,
\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x}\,dx = \lim_{b\to\infty} [\ln x]_{1}^{b} = \lim_{b\to\infty} \ln b = \infty,
logo a integral diverge. Pelo Teste da Integral, a série harmônica diverge.
Também vale dar uma prova discreta muito simples da divergência da série harmônica (para fixar a intuição): agrupe os termos assim
1 + \frac{1}{2} + \left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right) + \left(\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}\right) + \cdots
Note que em cada grupo a soma é maior ou igual a 1/2:
  • 1 é >1/2.
  • \dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}.
  • \dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}>\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{2}.
  • \dfrac{1}{5}+\cdots+\dfrac{1}{8}> quatro vezes \dfrac{1}{8}=\dfrac{1}{2}.
  • Em geral, o bloco com 2^{k-1} termos tem cada termo \ge 1/2^k, então a soma do bloco \ge 2^{k-1}\cdot \dfrac{1}{2^k}=\dfrac{1}{2}.
    Assim somando blocos obtemos uma soma que cresce sem limite (soma de infinitos \ge 1/2), logo a série diverge. Isso mostra de forma simples por que p=1 dá divergência.

Passo 5

Comentário adicional e interpretação intuitiva: quando p>1 os termos 1/n^{p} decaem “rápido o suficiente” para que as parcelas somadas fiquem pequenas rápido e a soma total seja finita; quando p\le 1 o decaimento é lento demais e a soma explode. Exemplos:
  • Para p=2 a série converge (é a série de Basel; converge para \pi^{2}/6, mas o valor numérico não era pedido).
  • Para p=1/2 a série diverge, porque 1/n^{1/2} decai lentamente.

Resposta

A série converge se, e somente se, p>1.
Para p\le 1 a série diverge.

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