Encontre o raio de convergência das séries:
Passo 1
O enunciado dá a série
Para interpretar isso como uma série de potências (o que faz sentido quando pedem raio de convergência), vou tratar a expressão como a série
Informações dadas:
- A variável da série é
e o centro da série é (por causa de ). - Os coeficientes da série são
O que é pedido: encontrar o raio de convergência
dessa série de potências.
Passo 2
O que é “raio de convergência”?
- Para uma série de potências centrada em
,
existe um número
tal que:
- a série converge para todo
com ; - diverge para todo
com ; - para
é caso-limite (é preciso testar separadamente). - Uma forma prática de calcular
é pela fórmula com o limsup dos coeficientes:
Essa fórmula vem do teste da raiz aplicado à série de potências. Vou usá-la.
Passo 3
Identifico os coeficientes:
Preciso calcular
e então
(se
então
; se
então
).
Passo 4
Calcular
. Como
para
podemos escrever
Uma forma clara de avaliar esse limite é usar logaritmo e exponencial:
Passo 5
Calculo o argumento do exponencial:
Reescrevendo
obtemos
Agora analisamos o limite quando
:
-
porque cresce muito mais devagar que . -
também (pois e dividindo por vai a ).
Logo
Passo 6
Voltando ao exponencial,
Assim
.
Passo 7
Aplicando a fórmula do raio:
Portanto o raio de convergência é
.
Passo 8
Comentário extra (útil na prova, mas não pede no enunciado): os pontos da fronteira são
com
, ou seja
e
. Substituindo
a série vira aproximadamente
, cujo termo geral tem ordem
, então por comparação com a série harmônica a série não converge nesses pontos (diverge). Logo o intervalo de convergência é aberto
. (Esse passo é apenas para contexto; o pedido original era só o raio.)