Encontre o raio de convergência das séries:
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(x-2) n}{n^{2}+1}

Passo 1

O enunciado dá a série
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(x-2)\, n}{n^{2}+1}.
Para interpretar isso como uma série de potências (o que faz sentido quando pedem raio de convergência), vou tratar a expressão como a série
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n}{n^{2}+1}\,(x-2)^{n}.
Informações dadas:
  • A variável da série é x e o centro da série é 2 (por causa de (x-2)^{n}).
  • Os coeficientes da série são
a_n=\frac{n}{n^{2}+1}\quad\text{(para \(n\ge0\), note que \(a_0=0\)).}
O que é pedido: encontrar o raio de convergência R dessa série de potências.

Passo 2

O que é “raio de convergência”?
  • Para uma série de potências centrada em x_0,
\sum_{n=0}^\infty a_n (x-x_0)^n,
existe um número R\in[0,\infty] tal que:
  • a série converge para todo x com |x-x_0|<R;
  • diverge para todo x com |x-x_0|>R;
  • para |x-x_0|=R é caso-limite (é preciso testar separadamente).
  • Uma forma prática de calcular R é pela fórmula com o limsup dos coeficientes:
R=\frac{1}{\displaystyle\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}}.
Essa fórmula vem do teste da raiz aplicado à série de potências. Vou usá-la.

Passo 3

Identifico os coeficientes:
a_n=\frac{n}{n^{2}+1}.
Preciso calcular
L:=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}
e então R=1/L (se L=0 então R=\infty; se L=\infty então R=0).

Passo 4

Calcular \sqrt[n]{a_n}. Como a_n>0 para n\ge1 podemos escrever
\sqrt[n]{a_n}=\left(\frac{n}{n^{2}+1}\right)^{1/n}.
Uma forma clara de avaliar esse limite é usar logaritmo e exponencial:
\left(\frac{n}{n^{2}+1}\right)^{1/n}=\exp\!\Bigg(\frac{1}{n}\ln\!\Big(\frac{n}{n^{2}+1}\Big)\Bigg).

Passo 5

Calculo o argumento do exponencial:
\frac{1}{n}\ln\!\Big(\frac{n}{n^{2}+1}\Big) =\frac{1}{n}\big(\ln n - \ln(n^{2}+1)\big).
Reescrevendo \ln(n^{2}+1)=2\ln n+\ln(1+1/n^{2}) obtemos
\frac{1}{n}\big(\ln n - \ln(n^{2}+1)\big) =\frac{1}{n}\big(\ln n - 2\ln n - \ln(1+1/n^{2})\big) =\frac{1}{n}\big(-\ln n - \ln(1+1/n^{2})\big).
Agora analisamos o limite quando n\to\infty:
  • \dfrac{\ln n}{n}\to 0 porque \ln n cresce muito mais devagar que n.
  • \dfrac{\ln(1+1/n^{2})}{n}\to 0 também (pois \ln(1+1/n^{2})\to 0 e dividindo por n vai a 0).
    Logo
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\ln\!\Big(\frac{n}{n^{2}+1}\Big)=0.

Passo 6

Voltando ao exponencial,
\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n}{n^{2}+1}\right)^{1/n} =\exp(0)=1.
Assim \displaystyle L=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=1.

Passo 7

Aplicando a fórmula do raio:
R=\frac{1}{L}=\frac{1}{1}=1.
Portanto o raio de convergência é 1.

Passo 8

Comentário extra (útil na prova, mas não pede no enunciado): os pontos da fronteira são x com |x-2|=1, ou seja x=1 e x=3. Substituindo |x-2|=1 a série vira aproximadamente \sum n/(n^{2}+1)\cdot(\pm1)^n, cujo termo geral tem ordem 1/n, então por comparação com a série harmônica a série não converge nesses pontos (diverge). Logo o intervalo de convergência é aberto (1,3). (Esse passo é apenas para contexto; o pedido original era só o raio.)

Resposta

R=1

Exercícios relacionados