use a definição para verificar se a integral inprópria converge ou diverge. Calcule o valor das integrais impróprias que convergem.
\int_{-\infty}^{0} \frac{d x}{x^{2}-3 x+2}

Passo 1

O enunciado pede para verificar, usando a definição, se a integral imprópria
\int_{-\infty}^{0}\frac{dx}{x^{2}-3x+2}
converge ou diverge e, quando converge, calcular seu valor. As informações relevantes do enunciado são:
  • A função integranda é f(x)=\dfrac{1}{x^{2}-3x+2}.
  • O intervalo de integração é (-\infty,0], ou seja, o limite inferior é -\infty (impropriedade por intervalo infinito).
  • O denominador fatoriza como x^{2}-3x+2=(x-1)(x-2), que tem raízes em x=1 e x=2. Essas singularidades estão fora do intervalo (-\infty,0].

Passo 2

Definição usada (impropriedade por intervalo infinito). A integral imprópria com limite inferior -\infty é definida por
\int_{-\infty}^{0} f(x)\,dx := \lim_{A\to -\infty} \int_{A}^{0} f(x)\,dx,
ou seja, calculamos a integral definida de A até 0 e então tomamos o limite quando A vai para -\infty. Se esse limite existir finito, dizemos que a integral converge; caso contrário, diverge.

Passo 3

Estratégia de resolução (escolha do método). A função é uma função racional cujo grau do denominador ( 2) é maior que o do numerador ( 0), logo para |x| grande ela se comporta como 1/x^{2}. Como \int_{1}^{\infty}1/x^{2}\,dx converge, espera-se que a integral dada também converja (comparação assintótica). Para obter o valor exato, o método mais direto e elementar é decompor em frações parciais e integrar explicitamente. Vou então:
  • fazer a decomposição em frações parciais de f(x);
  • integrar \int_{A}^{0} f(x)\,dx;
  • tomar o limite A\to -\infty.

Passo 4

Fatoração e frações parciais. Primeiro fatoramos o denominador:
x^{2}-3x+2=(x-1)(x-2).
Procuramos constantes A e B tais que
\frac{1}{(x-1)(x-2)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x-2}.
Multiplicando ambos os lados por (x-1)(x-2) obtemos
1 = A(x-2)+B(x-1).
Para determinar A e B avaliamos em pontos convenientes:
  • Em x=1: 1 = A(1-2)+B\cdot 0 \Rightarrow 1 = -A \Rightarrow A = -1.
  • Em x=2: 1 = A\cdot 0 + B(2-1) \Rightarrow 1 = B \Rightarrow B = 1.
Portanto a decomposição é
\frac{1}{x^{2}-3x+2} = -\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x-2}.

Passo 5

Integração indefinida e antiderivada. Sabendo que
\int \frac{1}{x-a}\,dx = \ln|x-a| + C,
temos uma antiderivada de f:
F(x) = -\ln|x-1| + \ln|x-2|.
Assim, para A<0 (o que garante que o integrando esteja bem definido no intervalo [A,0] porque as singularidades 1 e 2 estão fora), vale
\int_{A}^{0}\frac{dx}{x^{2}-3x+2} = \left[-\ln|x-1| + \ln|x-2|\right]_{x=A}^{x=0}.

Passo 6

Avaliação do valor em 0 e em A. Calculemos as duas avaliações:
  • Em x=0:
-\ln|0-1| + \ln|0-2| = -\ln 1 + \ln 2 = 0 + \ln 2 = \ln 2.
  • Em x=A:
-\ln|A-1| + \ln|A-2|.
Subtraindo (valor em 0 menos valor em A),
\int_{A}^{0}\frac{dx}{x^{2}-3x+2} = \ln 2 -\big(-\ln|A-1|+\ln|A-2|\big) = \ln 2 + \ln|A-1| - \ln|A-2|.
Reescrevendo a parte dependente de A como um logaritmo único:
\ln|A-1| - \ln|A-2| = \ln\!\left(\frac{|A-1|}{|A-2|}\right).

Passo 7

Tomando o limite A\to -\infty. Agora aplicamos a definição da integral imprópria:
\int_{-\infty}^{0}\frac{dx}{x^{2}-3x+2} = \lim_{A\to -\infty}\left[\ln 2 + \ln\!\left(\frac{|A-1|}{|A-2|}\right)\right].
Para A\to -\infty temos |A-1| = -A+1 e |A-2| = -A+2. Portanto
\frac{|A-1|}{|A-2|} = \frac{-A+1}{-A+2} = \frac{1 - \tfrac{1}{A}}{1 - \tfrac{2}{A}}.
Quando A\to -\infty temos \tfrac{1}{A}\to 0 e \tfrac{2}{A}\to 0, logo a fração acima tende a 1. Assim
\lim_{A\to -\infty}\ln\!\left(\frac{|A-1|}{|A-2|}\right)=\ln 1 = 0.
Portanto o limite total existe e é
\int_{-\infty}^{0}\frac{dx}{x^{2}-3x+2} = \ln 2 + 0 = \ln 2.
Isto mostra que a integral converge e seu valor é \ln 2.

Resposta

\ln 2

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