use a definição para verificar se a integral inprópria converge ou diverge. Calcule o valor das integrais impróprias que convergem.
Passo 1
O enunciado pede para verificar, usando a definição, se a integral imprópria
converge ou diverge e, quando converge, calcular seu valor. As informações relevantes do enunciado são:
- A função integranda é
. - O intervalo de integração é
, ou seja, o limite inferior é (impropriedade por intervalo infinito). - O denominador fatoriza como
, que tem raízes em e . Essas singularidades estão fora do intervalo .
Passo 2
Definição usada (impropriedade por intervalo infinito). A integral imprópria com limite inferior
é definida por
ou seja, calculamos a integral definida de
até
e então tomamos o limite quando
vai para
. Se esse limite existir finito, dizemos que a integral converge; caso contrário, diverge.
Passo 3
Estratégia de resolução (escolha do método). A função é uma função racional cujo grau do denominador (
) é maior que o do numerador (
), logo para
grande ela se comporta como
. Como
converge, espera-se que a integral dada também converja (comparação assintótica). Para obter o valor exato, o método mais direto e elementar é decompor em frações parciais e integrar explicitamente. Vou então:
- fazer a decomposição em frações parciais de
; - integrar
; - tomar o limite
.
Passo 4
Fatoração e frações parciais. Primeiro fatoramos o denominador:
Procuramos constantes
e
tais que
Multiplicando ambos os lados por
obtemos
Para determinar
e
avaliamos em pontos convenientes:
- Em
: - Em
:
Portanto a decomposição é
Passo 5
Integração indefinida e antiderivada. Sabendo que
temos uma antiderivada de
:
Assim, para
(o que garante que o integrando esteja bem definido no intervalo
porque as singularidades
e
estão fora), vale
Passo 6
Avaliação do valor em
e em
. Calculemos as duas avaliações:
- Em
:
- Em
:
Subtraindo (valor em
menos valor em
),
Reescrevendo a parte dependente de
como um logaritmo único:
Passo 7
Tomando o limite
. Agora aplicamos a definição da integral imprópria:
Para
temos
e
. Portanto
Quando
temos
e
, logo a fração acima tende a
. Assim
Portanto o limite total existe e é
Isto mostra que a integral converge e seu valor é
.