Para quais valores de k a solução é possível determinada (ou seja, existe exatamente uma solução)?
Para quais valores de k a solução é possível indeterminada (ou seja, existem infinitas soluções)?
Informações relevantes dadas:
Os coeficientes das incógnitas são os mesmos, independentemente de k. O parâmetro k aparece apenas no termo independente da primeira equação.
A segunda equação tem coeficientes que parecem ser múltiplos da primeira (verificação necessária).]
Passo 2
Vamos analisar a matriz dos coeficientes e o determinante, porque uma condição rápida para existência de solução única (determinada) é que o determinante da matriz dos coeficientes seja diferente de zero.
Conclusão deste passo: \det(A)=0. Portanto a matriz dos coeficientes é singular e nunca teremos solução única (determinada) para nenhum valor de k.]
Passo 3
Explicando de forma didática: quando \det(A)=0 a matriz dos coeficientes tem posto (rank) menor que 3. Isso significa que as três equações não são linearmente independentes; então ou o sistema é incompatível (nenhuma solução) ou tem infinitas soluções. Para distinguir esses casos precisamos olhar para a matriz aumentada (coeficientes + termos independentes) e comparar seus postos.
Analise por casos com base na segunda linha 0=3(1-k):
Caso k\neq 1: então 3(1-k)\neq 0, a linha transformada R_2 é 0= \text{(não zero)}ã, o que é uma contradição. Isso significa que o sistema é incompatível (não tem solução). Portanto, para k\neq 1 não há solução, logo também não é solução determinada nem indeterminada.
Caso k=1: então 3(1-k)=0 e a segunda linha se torna 0=0 (linha nula), ou seja, a segunda equação é dependente das demais e não impõe restrição adicional. O sistema reduzido fica com duas equações efetivas para três incógnitas: