Exercício 3.13 Definimos o traço da matriz
, que denotamos por
, da seguinte forma:
Mostre que o subconjunto de
dado por:
é um subespaço vetorial de
.
Passo 1
O enunciado dá:
- A definição do traço:
para . - O conjunto
é
O que se pede: mostrar que
é um subespaço vetorial de
. Ou seja, provar que
satisfaz as propriedades necessárias para ser um subespaço (não vazio e fechado para soma e multiplicação por escalares).
Passo 2
Recordando a definição (passo-a-passo didático): um subconjunto
de um espaço vetorial
é subespaço se e somente se:
-
não é vazio (usualmente mostramos que o vetor zero de pertence a ); - para quaisquer
, tem-se (fechamento para adição); - para qualquer
e qualquer escalar , tem-se (fechamento para multiplicação por escalar).
Vamos aplicar essas três verificações a
.
Passo 3
Mostrar que
não é vazio: considere a matriz nula
(toda entrada igual a
). As entradas diagonais da matriz zero são
, então
Portanto
. Conclusão:
não é vazio.
Passo 4
Fechamento por adição (muito importante e simples): seja
e
. Pelas hipóteses temos
e
.
A matriz soma
tem entradas diagonais
. Logo o traço de
é
Usando propriedades da soma finita podemos separar as somas:
Como
e
, segue
. Portanto
. Assim
é fechado para adição.
Passo 5
Fechamento por multiplicação por escalar: seja
e
com
. A matriz
tem entradas diagonais
. Assim
Fatorando o escalar
fora da soma (propriedade da soma finita),
Como
, obtemos
. Portanto
. Assim
é fechado para multiplicação por escalares.
Passo 6
Síntese e interpretação: mostramos que
contém a matriz zero, que é fechado sob soma e fechado sob multiplicação por escalares. Essas três propriedades são exatamente as necessárias e suficientes para que um subconjunto de um espaço vetorial seja subespaço. Logo concluímos que
é um subespaço vetorial de
.
Comentário extra rápido (intuitivo): a razão prática é que o traço é uma aplicação linear
(pois
e
); então
é o núcleo dessa aplicação, e o núcleo de uma aplicação linear é sempre um subespaço. Mas tudo o que usei aqui foi provado explicitamente nos passos anteriores.