Exercício 3.13 Definimos o traço da matriz A \in M_{n}(\mathbb{R}), que denotamos por \operatorname{tr}(A), da seguinte forma:
\operatorname{tr}(A)=\sum_{i=1}^{n} a_{i i} .
Mostre que o subconjunto de M_{n}(\mathbb{R}) dado por:
S=\left\{A \in M_{n}(\mathbb{R}) / \operatorname{tr}(A)=0\right\}
é um subespaço vetorial de M_{n}(\mathbb{R}).

Passo 1

O enunciado dá:
  • A definição do traço: \operatorname{tr}(A)=\sum_{i=1}^{n} a_{i i} para A=(a_{i j})\in M_{n}(\mathbb{R}).
  • O conjunto S é
S=\{A\in M_{n}(\mathbb{R}) \mid \operatorname{tr}(A)=0\}.
O que se pede: mostrar que S é um subespaço vetorial de M_{n}(\mathbb{R}). Ou seja, provar que S satisfaz as propriedades necessárias para ser um subespaço (não vazio e fechado para soma e multiplicação por escalares).

Passo 2

Recordando a definição (passo-a-passo didático): um subconjunto W de um espaço vetorial V é subespaço se e somente se:
  1. W não é vazio (usualmente mostramos que o vetor zero de V pertence a W);
  2. para quaisquer u,v\in W, tem-se u+v\in W (fechamento para adição);
  3. para qualquer u\in W e qualquer escalar c\in\mathbb{R}, tem-se c\,u\in W (fechamento para multiplicação por escalar).
Vamos aplicar essas três verificações a S.

Passo 3

Mostrar que S não é vazio: considere a matriz nula 0\in M_{n}(\mathbb{R}) (toda entrada igual a 0). As entradas diagonais da matriz zero são 0, então
\operatorname{tr}(0)=\sum_{i=1}^{n} 0 = 0.
Portanto 0\in S. Conclusão: S não é vazio.

Passo 4

Fechamento por adição (muito importante e simples): seja A=(a_{i j})\in S e B=(b_{i j})\in S. Pelas hipóteses temos \operatorname{tr}(A)=\sum_{i=1}^{n} a_{i i}=0 e \operatorname{tr}(B)=\sum_{i=1}^{n} b_{i i}=0.
A matriz soma A+B tem entradas diagonais (A+B)_{i i}=a_{i i}+b_{i i}. Logo o traço de A+B é
\operatorname{tr}(A+B)=\sum_{i=1}^{n} (a_{i i}+b_{i i}).
Usando propriedades da soma finita podemos separar as somas:
\operatorname{tr}(A+B)=\sum_{i=1}^{n} a_{i i} + \sum_{i=1}^{n} b_{i i} = \operatorname{tr}(A) + \operatorname{tr}(B).
Como \operatorname{tr}(A)=0 e \operatorname{tr}(B)=0, segue \operatorname{tr}(A+B)=0. Portanto A+B\in S. Assim S é fechado para adição.

Passo 5

Fechamento por multiplicação por escalar: seja c\in\mathbb{R} e A=(a_{i j})\in S com \operatorname{tr}(A)=\sum_{i=1}^{n} a_{i i}=0. A matriz cA tem entradas diagonais (cA)_{i i}=c\,a_{i i}. Assim
\operatorname{tr}(cA)=\sum_{i=1}^{n} c\,a_{i i}.
Fatorando o escalar c fora da soma (propriedade da soma finita),
\operatorname{tr}(cA)=c\sum_{i=1}^{n} a_{i i}=c\,\operatorname{tr}(A).
Como \operatorname{tr}(A)=0, obtemos \operatorname{tr}(cA)=c\cdot 0=0. Portanto cA\in S. Assim S é fechado para multiplicação por escalares.

Passo 6

Síntese e interpretação: mostramos que S contém a matriz zero, que é fechado sob soma e fechado sob multiplicação por escalares. Essas três propriedades são exatamente as necessárias e suficientes para que um subconjunto de um espaço vetorial seja subespaço. Logo concluímos que S é um subespaço vetorial de M_{n}(\mathbb{R}).
Comentário extra rápido (intuitivo): a razão prática é que o traço é uma aplicação linear \operatorname{tr}:M_{n}(\mathbb{R})\to\mathbb{R} (pois \operatorname{tr}(A+B)=\operatorname{tr}(A)+\operatorname{tr}(B) e \operatorname{tr}(cA)=c\,\operatorname{tr}(A)); então S é o núcleo dessa aplicação, e o núcleo de uma aplicação linear é sempre um subespaço. Mas tudo o que usei aqui foi provado explicitamente nos passos anteriores.

Resposta

S é um subespaço vetorial de M_{n}(\mathbb{R}).

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