(FGV-SP)
Em certa rua, há dois semáforos, um no início e outro no final da rua. O semáforo do início, a cada ciclo de 120 segundos, fica verde nos primeiros 110 segundos e vermelho nos 10 segundos seguintes. O semáforo do final, a cada ciclo de 180 segundos, fica verde nos primeiros 160 segundos e vermetho nos 20 segundos seguintes. Ambos ficaram verdes ao mesmo tempo, exatamente ao meio-dia. Por quanto tempo, no período de 24 horas até o meio-dia do dia seguinte, os semáforos estarão simultaneamente vermelhos?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • O semáforo do início tem ciclo de \,120 segundos: fica verde nos primeiros \,110 segundos e vermelho nos seguintes \,10 segundos, repetidamente.
  • O semáforo do final tem ciclo de \,180 segundos: fica verde nos primeiros \,160 segundos e vermelho nos seguintes \,20 segundos, repetidamente.
  • Ambos estão verdes exatamente ao mesmo tempo em t=0 (meio-dia).
  • O intervalo de tempo que interessa é de \,24 horas, ou seja \,24 horas até meio-dia do dia seguinte.
O que se pede: por quanto tempo, dentro desse período de \,24 horas, os dois semáforos estarão simultaneamente vermelhos?

Passo 2

Ideia-chave (explicação didática): como os ciclos se repetem, a situação (quem está verde/vermelho) é periódica com período igual ao mínimo múltiplo comum dos comprimentos dos ciclos. Ou seja, basta analisar um bloco de tempo igual ao mínimo múltiplo comum (MMC) e depois multiplicar pelo número de blocos em \,24 horas.
Vou calcular o MMC de \,120 e \,180. Fatorando:
120 = 2^3\cdot 3\cdot 5,\qquad 180 = 2^2\cdot 3^2\cdot 5.
O MMC toma os maiores expoentes de cada primo:
\text{MMC}(120,180)=2^3\cdot 3^2\cdot 5 = 8\cdot 9\cdot 5 = 360.
Portanto o padrão se repete a cada \,360 segundos.

Passo 3

Calcular quantos blocos completos de \,360 segundos cabem em \,24 horas. Primeiro converter \,24 horas para segundos:
24\\ \text{horas} = 24\cdot 3600 = 86400\\ \text{segundos}.
Agora dividir:
\frac{86400}{360} = 240.
Logo há \,240 blocos idênticos de \,360 segundos no período de \,24 horas. Assim basta achar quanto tempo, dentro de um bloco de \,360 segundos, ambos os semáforos ficam simultaneamente vermelhos, e multiplicar por \,240.

Passo 4

Determinar os intervalos de vermelho de cada semáforo dentro do intervalo [0,360) (tomando t=0 como meio-dia).
Para o semáforo do início (ciclo \,120 s, vermelho nos últimos \,10 s de cada ciclo):
  • Ciclos começam em t=0,\;120,\;240.
  • Os intervalos vermelhos são
[110,120),\quad [230,240),\quad [350,360).
(Em cada ciclo o vermelho é o segmento final de comprimento \,10 s.)

Passo 5

Para o semáforo do final (ciclo \,180 s, vermelho nos últimos \,20 s de cada ciclo):
  • Ciclos começam em t=0,\;180.
  • Os intervalos vermelhos são
[160,180),\quad [340,360).

Passo 6

Agora calculo as interseções (sobreposições) entre os intervalos vermelhos de ambos dentro de [0,360).
Comparando cada par:
  • [110,120) com [160,180) e [340,360): nenhuma interseção.
  • [230,240) com [160,180) e [340,360): nenhuma interseção.
  • [350,360) com [160,180): nenhuma interseção.
  • [350,360) com [340,360): interseção é [350,360).
O comprimento (duração) dessa interseção é
360-350 = 10\\ \text{segundos}.
Portanto, dentro de um bloco de [0,360) há exatamente \,10 segundos em que ambos estão simultaneamente vermelhos.

Passo 7

Multiplicar a duração por bloco pelo número de blocos em \,24 horas:
10\\ \text{s por bloco}\times 240\\ \text{blocos} = 2400\\ \text{segundos}.
Converter para minutos:
2400\\ \text{s} = \frac{2400}{60} = 40\\ \text{minutos}.

Resposta

\,40\\ \text{minutos}

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