(FGV-SP)
Em certa rua, há dois semáforos, um no início e outro no final da rua. O semáforo do início, a cada ciclo de 120 segundos, fica verde nos primeiros 110 segundos e vermelho nos 10 segundos seguintes. O semáforo do final, a cada ciclo de 180 segundos, fica verde nos primeiros 160 segundos e vermetho nos 20 segundos seguintes. Ambos ficaram verdes ao mesmo tempo, exatamente ao meio-dia. Por quanto tempo, no período de 24 horas até o meio-dia do dia seguinte, os semáforos estarão simultaneamente vermelhos?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- O semáforo do início tem ciclo de
segundos: fica verde nos primeiros segundos e vermelho nos seguintes segundos, repetidamente. - O semáforo do final tem ciclo de
segundos: fica verde nos primeiros segundos e vermelho nos seguintes segundos, repetidamente. - Ambos estão verdes exatamente ao mesmo tempo em
(meio-dia). - O intervalo de tempo que interessa é de
horas, ou seja horas até meio-dia do dia seguinte.
O que se pede: por quanto tempo, dentro desse período de
horas, os dois semáforos estarão simultaneamente vermelhos?
Passo 2
Ideia-chave (explicação didática): como os ciclos se repetem, a situação (quem está verde/vermelho) é periódica com período igual ao mínimo múltiplo comum dos comprimentos dos ciclos. Ou seja, basta analisar um bloco de tempo igual ao mínimo múltiplo comum (MMC) e depois multiplicar pelo número de blocos em
horas.
Vou calcular o MMC de
e
. Fatorando:
O MMC toma os maiores expoentes de cada primo:
Portanto o padrão se repete a cada
segundos.
Passo 3
Calcular quantos blocos completos de
segundos cabem em
horas. Primeiro converter
horas para segundos:
Agora dividir:
Logo há
blocos idênticos de
segundos no período de
horas. Assim basta achar quanto tempo, dentro de um bloco de
segundos, ambos os semáforos ficam simultaneamente vermelhos, e multiplicar por
.
Passo 4
Determinar os intervalos de vermelho de cada semáforo dentro do intervalo
(tomando
como meio-dia).
Para o semáforo do início (ciclo
s, vermelho nos últimos
s de cada ciclo):
- Ciclos começam em
. - Os intervalos vermelhos são
(Em cada ciclo o vermelho é o segmento final de comprimento
s.)
Passo 5
Para o semáforo do final (ciclo
s, vermelho nos últimos
s de cada ciclo):
- Ciclos começam em
. - Os intervalos vermelhos são
Passo 6
Agora calculo as interseções (sobreposições) entre os intervalos vermelhos de ambos dentro de
.
Comparando cada par:
-
com e : nenhuma interseção. -
com e : nenhuma interseção. -
com : nenhuma interseção. -
com : interseção é .
O comprimento (duração) dessa interseção é
Portanto, dentro de um bloco de
há exatamente
segundos em que ambos estão simultaneamente vermelhos.
Passo 7
Multiplicar a duração por bloco pelo número de blocos em
horas:
Converter para minutos: