1. a) ( 1,5 valores) Sabe-se que f(x)=\operatorname{sen}\left(x^{4}+2 x^{3}+1\right) é uma função analítica em \mathbb{R}, tal que admite o desenvolvimento em série de Taylor.
    Determine o coeficiente a_{1}.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\operatorname{sen}\bigl(x^{4}+2x^{3}+1\bigr)
analítica em \mathbb{R} e pede o coeficiente a_{1} do seu desenvolvimento em série de Taylor ao redor de x=0. Em geral, se
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n},
então
a_{1}=\frac{f'(0)}{1!}=f'(0).

Passo 2

Vamos calcular f'(x) usando a regra da cadeia. Chamando
g(x)=x^{4}+2x^{3}+1,
temos f(x)=\operatorname{sen}\bigl(g(x)\bigr), logo
f'(x)=\cos\bigl(g(x)\bigr)\cdot g'(x).
E
g'(x)=4x^{3}+6x^{2}.
Portanto
f'(x)=\cos\bigl(x^{4}+2x^{3}+1\bigr)\,\bigl(4x^{3}+6x^{2}\bigr).

Passo 3

Para obter a_{1} avaliamos f'(0):
f'(0)=\cos\bigl(0^{4}+2\cdot0^{3}+1\bigr)\,\bigl(4\cdot0^{3}+6\cdot0^{2}\bigr) =\cos(1)\cdot0=0.
Logo
a_{1}=f'(0)=0.

Resposta

O coeficiente a_{1} do desenvolvimento em série de Taylor de f(x) é 0.

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