Para que valores de x a série abaixo converge?
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n(x-10)^{n}}{5^{n}} .

Passo 1

O enunciado pede: “Para que valores de x a série abaixo converge?”
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n(x-10)^{n}}{5^{n}} .
Informações dadas que vamos usar:
  • O termo geral da série é a_n=\dfrac{n(x-10)^{n}}{5^{n}}.
  • A incógnita é x (real).
  • A série é uma soma infinita indexada por n de 0 a \infty.
    A pergunta única é: determinar o conjunto de x para os quais a série converge.

Passo 2

Escolhendo o método: séries com fatores da forma (x-10)^{n} divididos por 5^{n} costumam ser tratadas com o teste da razão (ou raciocínios sobre séries geométricas), porque há um fator que se repete na forma de potência. Vou aplicar o teste da razão de forma didática.
O teste da razão diz: para uma série com termos a_n, calcule
L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|.
Se L<1 a série converge absolutamentep; se L>1 diverge; se L=1 o teste é inconclusivo (precisamos analisar separadamente). Aqui vamos aplicar isso ao nosso a_n.

Passo 3

Vamos escrever explicitamente a_n e a_{n+1}:
a_n=\frac{n(x-10)^{n}}{5^{n}},\qquad a_{n+1}=\frac{(n+1)(x-10)^{n+1}}{5^{n+1}}.
Calculemos a razão em valor absoluto:
\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| =\left|\frac{(n+1)(x-10)^{n+1}}{5^{n+1}}\cdot\frac{5^{n}}{n(x-10)^{n}}\right| =\frac{n+1}{n}\left|\frac{x-10}{5}\right|.
Agora tomamos o limite quando n\to\infty. Como \dfrac{n+1}{n}\to 1, obtemos
L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| =\left|\frac{x-10}{5}\right|.
Pelo teste da razão, a série converge absolutamente (logo converge) se L<1, isto é se
\left|\frac{x-10}{5}\right|<1.

Passo 4

Simplificando a desigualdade do passo anterior:
\left|\frac{x-10}{5}\right|<1 \quad\Longleftrightarrow\quad |x-10|<5.
Isto significa que, estritamente no interior desse intervalo, a série converge. Escrevendo em forma de intervalo:
5<x<15.
Agora precisamos verificar os pontos finais onde |x-10|=5, pois o teste da razão só garante convergência estrita.

Passo 5

Análise dos extremos:
  • Para x=15: temos x-10=5. O termo geral fica
a_n=\frac{n(5)^{n}}{5^{n}}=n.
A série \sum_{n=0}^{\infty} n tem termos que não vão a zero (de fato n\to\infty), então pela condição necessária para convergência (os termos gerais devem tender a zero), a série diverge.
  • Para x=5: temos x-10=-5. O termo geral fica
a_n=\frac{n(-5)^{n}}{5^{n}}=n(-1)^{n}.
O módulo do termo é |a_n|=n, que não tende a zero; portanto também não satisfaz a condição necessária para convergência. Logo a série diverge em x=5 (não converge nem condicionalmente, pois os termos não vão a zero).

Passo 6

Conclusão: a série converge exatamente quando |x-10|<5, isto é para x no intervalo aberto (5,15). Nos pontos x=5 e x=15 a série diverge.
Força aí — você já tem a resposta e o porquê passo a passo; esse padrão de usar o teste da razão em séries com potências (x-a)^n é muito útil na prova.

Resposta

|x-10|<5
5<x<15

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