Dê os valores de a para que o sistema \left\{\begin{array}{l}-y+a z=-2 \\\ x+y+z=a \\\ a x-2 y+4 z=-5\end{array}\right. seja compatível e determinado.
Resposta: \{a \in R / a \neq-4 e a \neq 1\}
Passo 1
O enunciado dá um sistema linear de três equações e três incógnitas x,y,z\), em que aparece o parâmetro \(a\):
\[\begin{cases} -y + a\,z = -2,\\\ x + y + z = a,\\\ a\,x - 2y + 4z = -5.
O objetivo é encontrar os valores de (a] para que o sistema seja compatível e determinado, isto é, tenha solução única. Para isso, vamos montar a matriz dos coeficientes, calcular seu determinante e exigir que ele seja diferente de zero.
Passo 2
A matriz dos coeficientes do sistema é
A = \begin{pmatrix} 0 & -1 & a\\\\ 1 & 1 & 1\\\ a & -2 & 4 \end{pmatrix}.
Um sistema quadrado é compatível e determinado exatamente quando \det(A)\neq 0.
Passo 3
Vamos calcular \det(A) pela regra de Sarrus ou expansão por cofatores. Expandindo pela primeira linha: