Dê os valores de a para que o sistema
\left\{\begin{array}{l}-y+a z=-2 \\\ x+y+z=a \\\ a x-2 y+4 z=-5\end{array}\right. seja compatível e determinado.
Resposta:
\{a \in R / a \neq-4 e a \neq 1\}

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear de três equações e três incógnitas x,y,z\), em que aparece o parâmetro \(a\): \[\begin{cases} -y + a\,z = -2,\\\ x + y + z = a,\\\ a\,x - 2y + 4z = -5.
O objetivo é encontrar os valores de (a] para que o sistema seja compatível e determinado, isto é, tenha solução única. Para isso, vamos montar a matriz dos coeficientes, calcular seu determinante e exigir que ele seja diferente de zero.

Passo 2

A matriz dos coeficientes do sistema é
A = \begin{pmatrix} 0 & -1 & a\\\\ 1 & 1 & 1\\\ a & -2 & 4 \end{pmatrix}.
Um sistema quadrado é compatível e determinado exatamente quando \det(A)\neq 0.

Passo 3

Vamos calcular \det(A) pela regra de Sarrus ou expansão por cofatores. Expandindo pela primeira linha:
\det(A) = 0 \cdot C_{11} -(-1)\cdot \begin{vmatrix} 1 & 1\\\ a & 4 \end{vmatrix} + a\cdot \begin{vmatrix} 1 & 1\\\ a & -2 \end{vmatrix}.
Calculando os menores:
\begin{vmatrix} 1 & 1\\\ a & 4 \end{vmatrix} = 1\cdot 4 - 1\cdot a = 4 - a, \qquad \begin{vmatrix} 1 & 1\\\ a & -2 \end{vmatrix} = 1\cdot(-2) - 1\cdot a = -2 - a.
Logo,
\det(A) = (4 - a) + a\,(-2 - a) = 4 - a -2a - a^2 = -a^2 -3a +4.
Fatorando:
-a^2 -3a +4 = -(a^2+3a-4) = -(a+4)(a-1).

Passo 4

Para o sistema ter solução única, precisamos de
\det(A)\neq 0 \quad\Longleftrightarrow\quad -(a+4)(a-1)\neq 0 \quad\Longleftrightarrow\quad a\neq -4 \quad\text{e}\quad a\neq 1.

Resposta

\{\,a\in\mathbb{R}\mid a\neq -4,\;a\neq 1\}

Exercícios relacionados