Para que valores de x as séries seguintes convergem? x-\frac{x^{2}}{2^{2}}+\frac{x^{3}}{3^{2}}-\frac{x^{4}}{4^{2}}+\ldots+(-1)^{n+1} \frac{x^{n}}{n^{2}}+\ldots \quad Resp. -1 \leqslant x \leqslant 1.
Passo 1
O enunciado pede: para quais valores de x a série
\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1}\frac{x^{n}}{n^{2}}
converge?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
O termo geral da série (em função de n e x) é a_n(x)=(-1)^{n+1}\dfrac{x^{n}}{n^{2}}.
Queremos determinar o conjunto de x\in\mathbb{R} (assumo reais) para os quais a soma infinita converge.
Passo 2
Vamos tratar a série como uma série de potências em x com coeficientes
c_n = (-1)^{n+1}\frac{1}{n^{2}},
ou seja a série é \sum_{n=1}^{\infty} c_n x^n. Para séries de potências é útil encontrar o raio de convergência R. Uma forma prática é usar a fórmula de Cauchy–Hadamard:
Interpretação: a série de potências converge (pelo menos) para todos os x com |x|<1, diverge para |x|>1, e para |x|=1 é preciso testar os pontos terminalmente (os extremos do intervalo de convergência).
Passo 3
Convergência para |x|<1. Vou mostrar que a convergência é absoluta quando |x|<1. Considere a série das magnitudes:
Como n^{2}\ge 1 para todo n, temos \dfrac{|x|^{n}}{n^{2}}\le |x|^{n}. Para |x|<1 a série geométrica \sum |x|^{n} converge, logo por comparação a série \sum \dfrac{|x|^{n}}{n^{2}} converge. Convergência absoluta implica convergência, então a série original converge para todo |x|<1.
A série dos valores absolutos é \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^{2}}, que é uma série p-série com p=2>1, portanto converge. Assim a série original converge absolutamente em x=1, logo converge em x=1.
Explicação rápida do teste p-série: \sum 1/n^{p} converge se e só se p>1. Aqui p=2.
A série \sum 1/n^{2} converge (mesma p-série do passo anterior), logo a série em x=-1 converge (na verdade converge absolutamente). Portanto a série converge em x=-1.
Passo 6
Conclusão combinando as partes:
Para |x|<1 a série converge absolutamente (logo converge).
Para x=1 converge (absolutamente).
Para x=-1 converge (absolutamente).
Para |x|>1 a série diverge porque os termos não tendem a zero: \left|(-1)^{n+1}\dfrac{x^{n}}{n^{2}}\right|=\dfrac{|x|^{n}}{n^{2}} cresce geometricamente em n quando |x|>1, então o termo geral não tende a zero e a série não pode convergir.
Portanto o conjunto de convergência é o intervalo fechado [-1,1].