Para que valores de x as séries seguintes convergem?
x-\frac{x^{2}}{2^{2}}+\frac{x^{3}}{3^{2}}-\frac{x^{4}}{4^{2}}+\ldots+(-1)^{n+1} \frac{x^{n}}{n^{2}}+\ldots \quad Resp. -1 \leqslant x \leqslant 1.

Passo 1

O enunciado pede: para quais valores de x a série
\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1}\frac{x^{n}}{n^{2}}
converge?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • O termo geral da série (em função de n e x) é a_n(x)=(-1)^{n+1}\dfrac{x^{n}}{n^{2}}.
  • Queremos determinar o conjunto de x\in\mathbb{R} (assumo reais) para os quais a soma infinita converge.

Passo 2

Vamos tratar a série como uma série de potências em x com coeficientes
c_n = (-1)^{n+1}\frac{1}{n^{2}},
ou seja a série é \sum_{n=1}^{\infty} c_n x^n. Para séries de potências é útil encontrar o raio de convergência R. Uma forma prática é usar a fórmula de Cauchy–Hadamard:
\frac{1}{R}=\limsup_{n\to\infty} |c_n|^{1/n}.
Aqui |c_n|=\dfrac{1}{n^{2}}. Calculemos
\lim_{n\to\infty} |c_n|^{1/n} =\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^{2}}\right)^{1/n} =\lim_{n\to\infty} e^{\frac{\ln(1/n^{2})}{n}} =e^{\lim_{n\to\infty}\frac{-2\ln n}{n}}=e^{0}=1.
Portanto \limsup_{n\to\infty}|c_n|^{1/n}=1 e daí
R=\frac{1}{1}=1.
Interpretação: a série de potências converge (pelo menos) para todos os x com |x|<1, diverge para |x|>1, e para |x|=1 é preciso testar os pontos terminalmente (os extremos do intervalo de convergência).

Passo 3

Convergência para |x|<1. Vou mostrar que a convergência é absoluta quando |x|<1. Considere a série das magnitudes:
\sum_{n=1}^{\infty} \left|(-1)^{n+1}\frac{x^{n}}{n^{2}}\right| =\sum_{n=1}^{\infty} \frac{|x|^{n}}{n^{2}}.
Como n^{2}\ge 1 para todo n, temos \dfrac{|x|^{n}}{n^{2}}\le |x|^{n}. Para |x|<1 a série geométrica \sum |x|^{n} converge, logo por comparação a série \sum \dfrac{|x|^{n}}{n^{2}} converge. Convergência absoluta implica convergência, então a série original converge para todo |x|<1.

Passo 4

Teste do extremo x=1. Substituindo x=1 obtemos
\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1}\frac{1^{n}}{n^{2}}=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n^{2}}.
A série dos valores absolutos é \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^{2}}, que é uma série p-série com p=2>1, portanto converge. Assim a série original converge absolutamente em x=1, logo converge em x=1.
Explicação rápida do teste p-série: \sum 1/n^{p} converge se e só se p>1. Aqui p=2.

Passo 5

Teste do extremo x=-1. Substituindo x=-1 obtemos
\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1}\frac{(-1)^{n}}{n^{2}} =\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{2n+1}}{n^{2}} =\sum_{n=1}^{\infty} \left(-\frac{1}{n^{2}}\right) =-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}.
A série \sum 1/n^{2} converge (mesma p-série do passo anterior), logo a série em x=-1 converge (na verdade converge absolutamente). Portanto a série converge em x=-1.

Passo 6

Conclusão combinando as partes:
  • Para |x|<1 a série converge absolutamente (logo converge).
  • Para x=1 converge (absolutamente).
  • Para x=-1 converge (absolutamente).
  • Para |x|>1 a série diverge porque os termos não tendem a zero: \left|(-1)^{n+1}\dfrac{x^{n}}{n^{2}}\right|=\dfrac{|x|^{n}}{n^{2}} cresce geometricamente em n quando |x|>1, então o termo geral não tende a zero e a série não pode convergir.
Portanto o conjunto de convergência é o intervalo fechado [-1,1].

Resposta

-1 \leqslant x \leqslant 1

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