Para que valores de
as séries seguintes convergem?
Resp.
.
Passo 1
O enunciado dá a série infinita
e pergunta para quais valores de
essa série converge.
Informações relevantes extraídas do enunciado: os termos gerais são para
. A pergunta é encontrar o conjunto de
(presumivelmente reais) em que a soma infinita converge.
Informações relevantes extraídas do enunciado: os termos gerais são
Passo 2
Uma reescrita útil do termo geral é juntar as potências:
Então a série fica
Isso mostra que cada termo é uma potência de
com expoente
. Agora vamos testar convergência dessa série.
Passo 3
Vou usar o Teste da Raiz (root test), que é muito prático quando os termos têm potências com
no expoente. O teste da raiz diz o seguinte para uma série
:
- Se
, a série converge absolutamente. - Se
, a série diverge. - Se
, o teste é inconclusivo.
Aqui. Vou calcular .
Passo 4
Calculemos:
Agora analisamos o limite (ou
) quando
:
- Se
, então quando . Assim e, pelo teste da raiz, a série converge absolutamente. - Se
, então . Assim e a série diverge.
Portanto, pelo teste da raiz, a série converge parae diverge para . Em termos de , isso equivale a para convergência e para divergência.
Passo 5
Falta analisar o caso de fronteira
, isto é,
. Para qualquer série convergente é necessário que o termo geral tenda a zero. Verificamos:
- Se
, então cada termo é . Os termos não tendem a zero, logo a série diverge (soma de ). - Se
, então cada termo é . Como é par quando é par e ímpar quando é ímpar, os termos são alternadamente e ; em particular não tendem a zero, logo a série diverge.
Portanto, nos pontos de fronteira(no caso real, ) a série diverge.
Passo 6
Juntando tudo: a série converge absolutamente quando
, diverge quando
, e também diverge nos pontos de fronteira
. Assim o conjunto de convergência é exatamente os
com
.