Para que valores de x as séries seguintes convergem?
3 x+3^{4} x^{4}+3^{9} x^{9}+\ldots+3^{n^{2}} x^{n^{2}}+\ldots \quad Resp. |x|<\frac{1}{3}.

Passo 1

O enunciado dá a série infinita
\sum_{n=1}^{\infty} 3^{n^{2}} x^{n^{2}}
e pergunta para quais valores de x essa série converge.
Informações relevantes extraídas do enunciado: os termos gerais são 3^{n^{2}} x^{n^{2}} para n=1,2,3,\dots. A pergunta é encontrar o conjunto de x (presumivelmente reais) em que a soma infinita converge.

Passo 2

Uma reescrita útil do termo geral é juntar as potências:
3^{n^{2}} x^{n^{2}} = (3x)^{n^{2}}.
Então a série fica
\sum_{n=1}^{\infty} (3x)^{n^{2}}.
Isso mostra que cada termo é uma potência de 3x com expoente n^{2}. Agora vamos testar convergência dessa série.

Passo 3

Vou usar o Teste da Raiz (root test), que é muito prático quando os termos têm potências com n no expoente. O teste da raiz diz o seguinte para uma série \sum a_{n}:
L=\limsup_{n\to\infty} |a_{n}|^{1/n}.
  • Se L<1, a série converge absolutamente.
  • Se L>1, a série diverge.
  • Se L=1, o teste é inconclusivo.
    Aqui a_{n}=(3x)^{n^{2}}. Vou calcular |a_{n}|^{1/n}.

Passo 4

Calculemos:
|a_{n}|^{1/n} = |(3x)^{n^{2}}|^{1/n} = |3x|^{n^{2}/n} = |3x|^{n}.
Agora analisamos o limite (ou \limsup) quando n\to\infty:
  • Se |3x|<1, então |3x|^{n}\to 0 quando n\to\infty. Assim L=0<1 e, pelo teste da raiz, a série converge absolutamente.
  • Se |3x|>1, então |3x|^{n}\to\infty. Assim L=+\infty>1 e a série diverge.
    Portanto, pelo teste da raiz, a série converge para |3x|<1 e diverge para |3x|>1. Em termos de x, isso equivale a |x|<\tfrac{1}{3} para convergência e |x|>\tfrac{1}{3} para divergência.

Passo 5

Falta analisar o caso de fronteira |3x|=1, isto é, |x|=\tfrac{1}{3}. Para qualquer série convergente é necessário que o termo geral tenda a zero. Verificamos:
  • Se x=\tfrac{1}{3}, então cada termo é (3\cdot\tfrac{1}{3})^{n^{2}}=1^{n^{2}}=1. Os termos não tendem a zero, logo a série diverge (soma de 1+1+1+\cdots).
  • Se x=-\tfrac{1}{3}, então cada termo é (3\cdot(-\tfrac{1}{3}))^{n^{2}}=(-1)^{n^{2}}. Como n^{2} é par quando n é par e ímpar quando n é ímpar, os termos são alternadamente 1 e -1; em particular não tendem a zero, logo a série diverge.
    Portanto, nos pontos de fronteira |x|=\tfrac{1}{3} (no caso real, x=\pm\tfrac{1}{3}) a série diverge.

Passo 6

Juntando tudo: a série converge absolutamente quando |x|<\tfrac{1}{3}, diverge quando |x|>\tfrac{1}{3}, e também diverge nos pontos de fronteira |x|=\tfrac{1}{3}. Assim o conjunto de convergência é exatamente os x com |x|<\tfrac{1}{3}.

Resposta

|x|<\tfrac{1}{3}

Exercícios relacionados