Para que valores de x as séries seguintes convergem?
1 \div \frac{x}{2}+\frac{x^{2}}{4}+\ldots+\frac{x^{n}}{2^{n}}+\ldots \quad Resp. -2<x<2.

Passo 1

O enunciado dá a série
1+\frac{x}{2}+\frac{x^{2}}{4}+\ldots+\frac{x^{n}}{2^{n}}+\ldots
e pede: para quais valores de x essa série converge?
Informações relevantes dadas: a sequência de termos gerais da série é formada por potências de x divididas por potências de 2. Não há outras condições fornecidas.

Passo 2

Identificar a forma dos termos. Vamos escrever o termo geral da série. Note que o primeiro termo é 1 (que corresponde a n=0) e o termo de ordem n é
\frac{x^{n}}{2^{n}}=\left(\frac{x}{2}\right)^{n}.
Então a série pode ser escrita como
\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{x}{2}\right)^{n}.
Isso é importante porque ela tem a forma de uma série geométrica, isto é, somatório de potências de uma razão comum.

Passo 3

Lembrete didático sobre série geométrica. Uma série geométrica tem a forma
\sum_{n=0}^{\infty} a\,r^{n},
onde a é o primeiro termo e r é a razão. O fato básico é: essa série converge se, e somente se, |r|<1. Nesse caso, o valor da soma é
\frac{a}{1-r}.
Explicando por que: se S=\sum_{n=0}^{\infty}a r^n e 0\le|r|<1, os somatórios parciais formam uma progressão geométrica finita cuja soma é S_N=a(1-r^{N+1})/(1-r); tomando N\to\infty, r^{N+1}\to0 e obtemos S=a/(1-r). Se |r|\ge1, os termos não tendem a zero (ou os somatórios parciais não têm limite), portanto diverge.

Passo 4

Aplicar o critério ao nosso caso. Aqui a=1 e a razão é
r=\frac{x}{2}.
Pelo critério da série geométrica, a série converge se, e somente se,
\left|\frac{x}{2}\right|<1.
Isso equivale a
|x|<2,
ou seja
-2<x<2.

Passo 5

Confirmação pelo teste da razão (opcional, mas reforça a ideia). Considere os termos a_n=\left(\frac{x}{2}\right)^n. O teste da razão analisa
\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| =\lim_{n\to\infty}\left|\frac{\left(\frac{x}{2}\right)^{n+1}}{\left(\frac{x}{2}\right)^n}\right| =\left|\frac{x}{2}\right|.
Se esse limite é menor que 1, a série converge; se é maior que 1, diverge. Novamente obtemos a condição \left|\frac{x}{2}\right|<1, isto é, |x|<2.

Passo 6

Analisar os extremos x=2 e x=-2.
Para x=2 a série vira
1+1+1+\cdots,
que claramente diverge (as somas parciais tendem para +\infty).
Para x=-2 a série vira
1-1+1-1+\cdots,
cujas somas parciais oscilam entre 1 e 0, portanto não têm limite — a série não converge no sentido usual. Assim os extremos não pertencem ao conjunto de convergência.

Passo 7

Bônus: quando |x|<2 podemos escrever a soma da série usando a fórmula da geométrica com a=1 e r=x/2:
\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{x}{2}\right)^n=\frac{1}{1-\frac{x}{2}}=\frac{2}{2-x},
válida sempre que |x|<2.

Resposta

-2<x<2

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