Calcule o valor dos determinantes:
\left|\begin{array}{lll}2 & 1 & 1 \\\\ 1 & 2 & 1 \\\\ 1 & 1 & 2\end{array}\right|

Passo 1

O enunciado pede para calcular o determinante da matriz
A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1\\\\ 1 & 2 & 1\\\\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}.
O conteúdo é cálculo de determinante por operações elementares e expansão de Laplace.

Passo 2

Vamos simplificar a matriz usando operações de linha que não alteram o determinante:
- Subtraímos a primeira linha de cada uma das outras duas.
R2 \to R2 - R1 e R3 \to R3 - R1.
Isso transforma A em
\begin{pmatrix} 2 & 1 & 1\\\\ 1-2 & 2-1 & 1-1\\\\ 1-2 & 1-1 & 2-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1\\\\ -1 & 1 & 0\\\\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 3

Agora expandimos o determinante dessa nova matriz pela primeira linha (expansão de Laplace):
\det(A) = 2\cdot \begin{vmatrix} 1 & 0\\\\ 0 & 1 \end{vmatrix} -1\cdot \begin{vmatrix} -1 & 0\\\\ -1 & 1 \end{vmatrix} +1\cdot \begin{vmatrix} -1 & 1\\\\ -1 & 0 \end{vmatrix}.

Passo 4

Calculamos cada menor:
\begin{vmatrix} 1 & 0\\\\ 0 & 1 \end{vmatrix} =1,\quad \begin{vmatrix} -1 & 0\\\\ -1 & 1 \end{vmatrix} =(-1)\cdot1-0\cdot(-1)=-1,\quad \begin{vmatrix} -1 & 1\\\\ -1 & 0 \end{vmatrix} =(-1)\cdot0-1\cdot(-1)=1.
Substituindo,
\det(A)=2\cdot1 -1\cdot(-1) +1\cdot1 =2+1+1 =4.

Resposta

O valor do determinante é 4.

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