Vamos denotar por
a coleção de todas as funções reais de uma variável real que possuem o conjunto
como domínio. Se
e
pertencem a
e
é um escalar real, definimos
,
e, assim, podemos verificar que
é um espaço vetorial. Considerando o caso especial em que
, quais dos conjuntos abaixo são subespaços de
?
Todas as funções
, tais que
.
Todas as funções
Passo 1
O enunciado diz que
é o espaço vetorial de todas as funções reais com domínio
. No caso especial temos
. Queremos verificar se o conjunto
é um subespaço de
. Para isso usaremos o critério padrão de subespaço:
- O conjunto deve conter a função zero.
- Quando somamos duas funções de
, o resultado tem de continuar em . - Ao multiplicar uma função de
por qualquer escalar, o resultado tem de ficar em .
Passo 2
Verificamos se a função zero, isto é,
para todo
, pertence a
. Como
a função zero não satisfaz a condição
. Logo
.
Passo 3
Como o primeiro requisito (contém a função zero) já falha, não precisamos checar fechamento em soma nem em multiplicação escalar. Basta o conjunto não conter o vetor zero para concluir que não é subespaço.
Resposta
O conjunto
não é subespaço de
.