Vamos denotar por \mathcal{F}(\Omega) a coleção de todas as funções reais de uma variável real que possuem o conjunto \Omega como domínio. Se f e g pertencem a \mathcal{F}(\Omega) e \lambda é um escalar real, definimos (f+g)(x)=f(x)+g(x), (\lambda f)(x)=\lambda f(x) e, assim, podemos verificar que \mathcal{F}(\Omega) é um espaço vetorial. Considerando o caso especial em que \Omega=(-\infty, \infty), quais dos conjuntos abaixo são subespaços de \mathcal{F}(\Omega) ?
Todas as funções f, tais que f(0)=1.

Passo 1

O enunciado diz que \mathcal{F}(\Omega) é o espaço vetorial de todas as funções reais com domínio \Omega. No caso especial temos \Omega = (-\infty,\infty). Queremos verificar se o conjunto
S = \{\,f\in\mathcal{F}(\Omega)\mid f(0)=1\}
é um subespaço de \mathcal{F}(\Omega). Para isso usaremos o critério padrão de subespaço:
  1. O conjunto deve conter a função zero.
  2. Quando somamos duas funções de S, o resultado tem de continuar em S.
  3. Ao multiplicar uma função de S por qualquer escalar, o resultado tem de ficar em S.

Passo 2

Verificamos se a função zero, isto é, f_0(x)=0 para todo x, pertence a S. Como
f_0(0) = 0 \neq 1,
a função zero não satisfaz a condição f(0)=1. Logo f_0\notin S.

Passo 3

Como o primeiro requisito (contém a função zero) já falha, não precisamos checar fechamento em soma nem em multiplicação escalar. Basta o conjunto não conter o vetor zero para concluir que não é subespaço.

Resposta

O conjunto \{\,f\mid f(0)=1\} não é subespaço de \mathcal{F}(\Omega).

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