Vamos denotar por
a coleção de todas as funções reais de uma variável real que possuem o conjunto
como domínio. Se
e
pertencem a
e
é um escalar real, definimos
,
e, assim, podemos verificar que
é um espaço vetorial. Considerando o caso especial em que
, quais dos conjuntos abaixo são subespaços de
?
Todas as funções diferenciáveis.
Todas as funções diferenciáveis.
Passo 1
O enunciado define o espaço vetorial
de todas as funções reais com domínio
, com operações pontuais de soma e multiplicação por escalar. Aqui especializamos em
e queremos ver se o subconjunto
Todas as funções diferenciáveis
é um subespaço de . Para isso, vamos usar o critério de subespaço.
Todas as funções diferenciáveis
é um subespaço de
Passo 2
Lembrando: um subconjunto
de um espaço vetorial
é subespaço se e somente se
- contém o vetor zero de
, - é fechado sob soma (se
, então ), - é fechado sob multiplicação escalar (se
e , então ).
Passo 3
Verificamos o vetor zero de
, que é a função nula
dada por
para todo
. Essa função é diferenciável (a derivada é
). Logo,
pertence ao conjunto das funções diferenciáveis.
Passo 4
Fechamento sob soma: se
e
são diferenciáveis em
, então a soma ponto a ponto
é diferenciável, pois
existe para todo
. Assim,
fica dentro do conjunto.
Passo 5
Fechamento sob multiplicação escalar: se
é diferenciável em
e
, então
é diferenciável, já que
existe para todo
. Portanto,
também pertence ao conjunto.
Resposta
O conjunto de todas as funções diferenciáveis em
satisfaz as três condições e, portanto, é um subespaço de
.