Vamos denotar por \mathcal{F}(\Omega) a coleção de todas as funções reais de uma variável real que possuem o conjunto \Omega como domínio. Se f e g pertencem a \mathcal{F}(\Omega) e \lambda é um escalar real, definimos (f+g)(x)=f(x)+g(x), (\lambda f)(x)=\lambda f(x) e, assim, podemos verificar que \mathcal{F}(\Omega) é um espaço vetorial. Considerando o caso especial em que \Omega=(-\infty, \infty), quais dos conjuntos abaixo são subespaços de \mathcal{F}(\Omega) ?
Todas as funções diferenciáveis.

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial \mathcal{F}(\Omega) de todas as funções reais com domínio \Omega, com operações pontuais de soma e multiplicação por escalar. Aqui especializamos em \Omega = \mathbb{R} e queremos ver se o subconjunto
Todas as funções diferenciáveis
é um subespaço de \mathcal{F}(\mathbb{R}). Para isso, vamos usar o critério de subespaço.

Passo 2

Lembrando: um subconjunto W de um espaço vetorial V é subespaço se e somente se
  1. contém o vetor zero de V,
  2. é fechado sob soma (se u,v\in W, então u+v\in W),
  3. é fechado sob multiplicação escalar (se u\in W e \lambda\in\mathbb{R}, então \lambda u\in W).

Passo 3

Verificamos o vetor zero de \mathcal{F}(\mathbb{R}), que é a função nula f_0 dada por f_0(x)=0 para todo x. Essa função é diferenciável (a derivada é f_0'(x)=0). Logo, f_0 pertence ao conjunto das funções diferenciáveis.

Passo 4

Fechamento sob soma: se f e g são diferenciáveis em \mathbb{R}, então a soma ponto a ponto
(f+g)(x)=f(x)+g(x)
é diferenciável, pois
(f+g)'(x)=f'(x)+g'(x)
existe para todo x. Assim, f+g fica dentro do conjunto.

Passo 5

Fechamento sob multiplicação escalar: se f é diferenciável em \mathbb{R} e \lambda\in\mathbb{R}, então
(\lambda f)(x)=\lambda\,f(x)
é diferenciável, já que
(\lambda f)'(x)=\lambda\,f'(x)
existe para todo x. Portanto, \lambda f também pertence ao conjunto.

Resposta

O conjunto de todas as funções diferenciáveis em \mathbb{R} satisfaz as três condições e, portanto, é um subespaço de \mathcal{F}(\mathbb{R}).

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