Vamos denotar por \mathcal{F}(\Omega) a coleção de todas as funções reais de uma variável real que possuem o conjunto \Omega como domínio. Se f e g pertencem a \mathcal{F}(\Omega) e \lambda é um escalar real, definimos (f+g)(x)=f(x)+g(x), (\lambda f)(x)=\lambda f(x) e, assim, podemos verificar que \mathcal{F}(\Omega) é um espaço vetorial. Considerando o caso especial em que \Omega=(-\infty, \infty), quais dos conjuntos abaixo são subespaços de \mathcal{F}(\Omega) ?
Todas as funções contínuas.

Passo 1

O enunciado nos coloca em \mathcal{F}(\Omega), o espaço vetorial de todas as funções reais com domínio \Omega. No caso especial \Omega=(-\infty,\infty), queremos ver se o conjunto
C = \{\,f\in\mathcal{F}(\mathbb{R}) \mid f \text{ é contínua em }\mathbb{R}\}éí
é um subespaço de \mathcal{F}(\mathbb{R}). Para isso, usamos o critério de subespaço: o conjunto deve (i) conter a função nula, (ii) ser fechado sob soma e (iii) ser fechado sob multiplicação escalar.

Passo 2

Verificamos a presença da função nula em C. A função nula \,0:\mathbb{R}\to\mathbb{R} dada por
0(x)=0
é contínua em todo \mathbb{R}, logo 0\in C.

Passo 3

Mostramos a fechadura de C sob soma. Sejam f e g duas funções contínuas em \mathbb{R}. A soma ponto a ponto
(f+g)(x)=f(x)+g(x)
é também contínua, pois a soma de funções contínuas é contínua. Portanto, f+g\in C.

Passo 4

Mostramos a fechadura de C sob multiplicação escalar. Se f\in C é contínua e \lambda\in\mathbb{R}, então
(\lambda f)(x)=\lambda\,f(x)
é contínua, já que o produto de função contínua por escalar é contínuo. Logo, \lambda f\in C.

Passo 5

Como C contém a função nula e é fechado sob soma e multiplicação por escalar, concluímos que C satisfaz todos os requisitos para ser subespaço de \mathcal{F}(\mathbb{R}).

Resposta

O conjunto de todas as funções contínuas em \mathbb{R} é um subespaço de \mathcal{F}(\mathbb{R}).

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