Vamos denotar por
a coleção de todas as funções reais de uma variável real que possuem o conjunto
como domínio. Se
e
pertencem a
e
é um escalar real, definimos
,
e, assim, podemos verificar que
é um espaço vetorial. Considerando o caso especial em que
, quais dos conjuntos abaixo são subespaços de
?
Todas as funções contínuas.
Todas as funções contínuas.
Passo 1
O enunciado nos coloca em
, o espaço vetorial de todas as funções reais com domínio
. No caso especial
, queremos ver se o conjunto
é um subespaço de
. Para isso, usamos o critério de subespaço: o conjunto deve (i) conter a função nula, (ii) ser fechado sob soma e (iii) ser fechado sob multiplicação escalar.
Passo 2
Verificamos a presença da função nula em
. A função nula
dada por
é contínua em todo
, logo
.
Passo 3
Mostramos a fechadura de
sob soma. Sejam
e
duas funções contínuas em
. A soma ponto a ponto
é também contínua, pois a soma de funções contínuas é contínua. Portanto,
.
Passo 4
Mostramos a fechadura de
sob multiplicação escalar. Se
é contínua e
, então
é contínua, já que o produto de função contínua por escalar é contínuo. Logo,
.
Passo 5
Como
contém a função nula e é fechado sob soma e multiplicação por escalar, concluímos que
satisfaz todos os requisitos para ser subespaço de
.
Resposta
O conjunto de todas as funções contínuas em
é um subespaço de
.