Vamos fazer em sala uma demonstração de que
é um número irracional.
a. Determine um número racional
, tal que
.
b. Prove que, se
é um número primo, então
é irracional.
c. Mais geralmente, prove que se
são primos distintos, então
é irracional.
a. Determine um número racional
b. Prove que, se
c. Mais geralmente, prove que se
Passo 1
O enunciado tem três partes. Primeiro (a) pede um racional
tal que
Depois (b) e (c) querem mostrar, por contradição, que certos números raiz são irracionais: em (b)
com
primo, e em (c)
com primos distintos
. Vamos usar aproximação por piso para (a) e o argumento clássico de Euclides (divisibilidade em potência quadrada) para (b) e (c).
Passo 2
Para (a) tomamos
Como
, temos
. Logo
Passo 3
Para (b), suponha por absurdo que
com
inteiros coprimos e
. Elevando ao quadrado:
Então
implica
. Escreva
. Substituindo,
logo
implica
. Assim
divide simultaneamente
e
, contradizendo
. Logo
é irracional.
Passo 4
Para (c), seja
e suponha
com
. Daí
Cada primo
divide
, logo divide
. Assim todo
divide
, escrevendo
. Substituindo dá
e cada
também divide
. Novamente contradiz
. Logo
é irracional.
Resposta
a) Podemos escolher
pois então
.
b) é irracional para todo primo
.
c) é irracional quando
são primos distintos.
b)
c)