Vamos fazer em sala uma demonstração de que raiz2 é um número irracional.
a. Determine um número racional r, tal que 0<raiz2-r<10^-5.
b. Prove que, se p é um número primo, então raizp é irracional.
c. Mais geralmente, prove que se p1, ldots, pk são primos distintos, então raizp1 p2 ldots pk é irracional.

Passo 1

O enunciado tem três partes. Primeiro (a) pede um racional r tal que
0<raiz2 - r <10^-5
Depois (b) e (c) querem mostrar, por contradição, que certos números raiz são irracionais: em (b) raiz p com p primo, e em (c) raizp1p2cdots pk com primos distintos pi. Vamos usar aproximação por piso para (a) e o argumento clássico de Euclides (divisibilidade em potência quadrada) para (b) e (c).

Passo 2

Para (a) tomamos
r=lfloor 10^5raiz2rfloor10^5
Como 10^5raiz2approx141421,356ldots, temos lfloor10^5raiz2rfloor=141421. Logo
r=141421100000 e raiz2 - r =10^5raiz2-lfloor10^5raiz2rfloor10^5 <110^5=10^-5

Passo 3

Para (b), suponha por absurdo que
raiz p=ab,
com a,b inteiros coprimos e b>0. Elevando ao quadrado:
p,b^2 = a^2
Então pmid a^2 implica pmid a. Escreva a=p,k. Substituindo,
p,b^2 = p^2k^2 Longrightarrow b^2 = p,k^2,
logo pmid b^2 implica pmid b. Assim p divide simultaneamente a e b, contradizendo gcd(a,b)=1. Logo raiz p é irracional.

Passo 4

Para (c), seja P=p1p2cdots pk e suponha
raiz P=ab,
com gcd(a,b)=1. Daí
P,b^2=a^2
Cada primo pi divide a^2, logo divide a. Assim todo P divide a, escrevendo a=P,c. Substituindo dá
P,b^2=P^2c^2 Longrightarrow b^2 = P,c^2,
e cada pi também divide b. Novamente contradiz gcd(a,b)=1. Logo raizp1cdots pk é irracional.

Resposta

a) Podemos escolher
r = 141421100000,
pois então 0<raiz2-r<10^-5.
b) raiz p é irracional para todo primo p.
c) raizp1p2cdots pk é irracional quando p1,dots,pk são primos distintos.

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