Calcule o valor do limite ou especifique que ele não existe:
lim x 2 x-2raizx-raiz4-x

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
limxto2x-2raizx-raiz4-x
Isso envolve uma forma indeterminada tfrac00, pois ao substituir x=2 obtemos 0/0. O conteúdo da matéria é cálculo de limites com indeterminações do tipo 0/0 e a técnica de racionalização de denominador.

Passo 2

Verificamos a substituição direta:
x-2|x=2=0, raizx-raiz4-x|x=2=raiz2-raiz2=0,
logo temos 0/0 e podemos racionalizar o denominador para eliminar a raiz.

Passo 3

Multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado do denominador, que é raizx+raiz4-x. Assim,
x-2raizx-raiz4-x;times;raizx+raiz4-xraizx+raiz4-x =(x-2),(raizx+raiz4-x),(raizx)^2-(raiz4-x)^2, =(x-2),(raizx+raiz4-x)x-(4-x)

Passo 4

No denominador simplificamos
x-(4-x)=2x-4=2,(x-2),
portanto, para xneq2,
(x-2),(raizx+raiz4-x)2,(x-2) =raizx+raiz4-x2

Passo 5

Agora o limite deixa de ser indeterminado e basta substituir x=2:
limxto2raizx+raiz4-x2 =raiz2+raiz22 =2raiz22 =raiz2

Resposta

raiz2

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