Vapor a 150{ }^{\circ} \mathrm{C} flui no interior de um tubo ( k=15 \mathrm{~W} / \mathrm{m} \mathrm{C} ) que tem raio interno de 50 mm e raio externo de 55 mm . O coeficiente de transferência de calor por convecção entre o vapor e a parede do tubo interno é 2500 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2}{ }^{\circ} \mathrm{C}. A superficie externa do tubo é exposta ao ar ambiente a 20^{\circ} \mathrm{C}, com um coeficiente de transferência de calor por convecção de 10 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2}{ }^{\circ} \mathrm{C}. Assumindo o estado estacionário e a ausência de geração de calor, calcule a taxa de transferência de calor por metro de comprimento do tubo.

Passo 1

O enunciado descreve um tubo cilíndrico com vapor a \!150{}^\circ\mathrm{C} no interior e ar a \!20{}^\circ\mathrm{C} do lado de fora. Há convecção interna com coeficiente \!h_i=2500\\ \mathrm{W/m^2\,{}^\circ C}, condução radial na parede do tubo de condutividade k=15\\ \mathrm{W/m\,{}^\circ C}, e convecção externa com coeficiente \!h_o=10\\ \mathrm{W/m^2\,{}^\circ C}. Queremos a taxa de calor por metro de comprimento, ou seja \dot Q'. Vamos usar o modelo de resistências térmicas em série no regime permanente sem geração interna.

Passo 2

Escrevemos as resistências térmicas por metro de comprimento:
resistência de convecção interna
R_i = \frac{1}{h_i\,2\pi r_i}
resistência de condução radial na parede
R_w = \frac{\ln\bigl(r_o/r_i\bigr)}{2\pi k}
resistência de convecção externa
R_o = \frac{1}{h_o\,2\pi r_o}
e a resistência total é
R_{\mathrm{tot}} = R_i + R_w + R_o.

Passo 3

Substituindo r_i=0{,}05\\ \mathrm m e r_o=0{,}055\\ \mathrm m:
R_i = \frac{1}{2500\cdot2\pi\cdot0{,}05} \approx0{,}001273\\ \frac{{}^\circ\mathrm C}{\mathrm W},
R_w = \frac{\ln(0{,}055/0{,}05)}{2\pi\cdot15} =\frac{\ln(1{,}1)}{94{,}248} \approx0{,}001011\\ \frac{{}^\circ\mathrm C}{\mathrm W},
R_o = \frac{1}{10\cdot2\pi\cdot0{,}055} \approx0{,}2894\\ \frac{{}^\circ\mathrm C}{\mathrm W}.
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R_{\mathrm{tot}} = 0{,}001273 + 0{,}001011 + 0{,}2894 \approx0{,}2917\\ \frac{{}^\circ\mathrm C}{\mathrm W}.

Passo 4

A taxa de calor por metro é dada por
\dot Q' = \frac{T_i - T_\infty}{R_{\mathrm{tot}}}
substituindo T_i=150{}^\circ\mathrm C e T_\infty=20{}^\circ\mathrm C:

Passo 5

\dot Q' = \frac{150 - 20}{0{,}2917} \approx445{,}8\\ \mathrm{W/m}.

Resposta

A taxa de transferência de calor por metro de comprimento do tubo é aproximadamente
\dot Q' \approx 446\\ \mathrm{W/m}.

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