Os resultados de uma análise granulométrica de quartzo estão representados na tabela abaixo. Determinar as distribuições de tamanho diferencial e acumulativa. Determinar também o número de partículas por grama e a superfície específica do material. Dados: massa específica 2,37 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3} e fatores de forma \mathrm{a}=2,2 \mathrm{e} \mathrm{b}=3,44.
Peneira
(malhas)
Massa
retida (g)
4 0,000
6 6,680
8 9,096
10 14,992
14 23,408
20 8,976
28 4,880
35 3,424
48 2,328
65 1,882
100 1,712
150 1,422
300 1,200

Passo 1

O enunciado fornece uma tabela com o número da peneira (malhas) e a massa retida em cada peneira (em g). Perguntas a responder:
  1. Determinar a distribuição de tamanho diferencial (percentual retido por classe).
  2. Determinar a distribuição de tamanho acumulativa (percentual passando em cada abertura).
  3. Determinar o número de partículas por grama do material.
  4. Determinar a superfície específica do material (área por unidade de massa).
Dados fornecidos (extraídos da tabela do enunciado):
\begin{array}{c|c} \text{Peneira (malhas)} & \text{Massa retida (g)}\\hline 4 & 0,000\\\\ 6 & 6,680\\\\ 8 & 9,096\\\\ 10 & 14,992\\\\ 14 & 23,408\\\\ 20 & 8,976\\\\ 28 & 4,880\\\\ 35 & 3,424\\\\ 48 & 2,328\\\\ 65 & 1,882\\\\ 100 & 1,712\\\\ 150 & 1,422\\\\ 300 & 1,200 \end{array}
Outros dados: massa específica \rho = 2,37\\ \mathrm{g/cm^{3}}; fatores de forma \,a=2,20 (fator de superfície) e \,b=3,44 (fator de volume).

Passo 2

Primeiro passo prático: totalizar a massa da amostra para transformar as massas retidas em percentuais (distribuição diferencial). Soma das massas (peguei esses valores diretamente da tabela do enunciado):
M_{\text{tot}} = 0{,}000+6{,}680+9{,}096+14{,}992+23{,}408+8{,}976+4{,}880+3{,}424+2{,}328+1{,}882+1{,}712+1{,}422+1{,}200 = 80{,}000\\ \mathrm{g}.
Portanto a amostra total é 80{,}000\\ \mathrm{g}.
A distribuição diferencial (percentual retido por peneira) é dada por:
\%\text{ retido}_i = \frac{\text{massa retida}_i}{M_{\text{tot}}}\times100.
Vou calcular cada \% retido (vou arredondar os percentuais a duas casas decimais).

Passo 3

Cálculo da distribuição diferencial (percentual retido em cada peneira). Faço a divisão massa/80 e multiplico por 100; mostro alguns exemplos e depois os resultados:
Exemplo para a peneira 6:
\%\text{ retido}_{6}=\frac{6{,}680}{80{,}000}\times100=8{,}35\%.
Aplicando a mesma fórmula a todas as peneiras, obtemos:
\begin{array}{c|c} \text{Peneira (malhas)} & \%\text{ retido}\\hline 4 & 0{,}00\%\\\\ 6 & 8{,}35\%\\\\ 8 & 11{,}37\%\\\\ 10 & 18{,}74\%\\\\ 14 & 29{,}26\%\\\\ 20 & 11{,}22\%\\\\ 28 & 6{,}10\%\\\\ 35 & 4{,}28\%\\\\ 48 & 2{,}91\%\\\\ 65 & 2{,}35\%\\\\ 100 & 2{,}14\%\\\\ 150 & 1{,}78\%\\\\ 300 & 1{,}50\% \end{array}

Passo 4

Agora a distribuição acumulativa. Vou calcular o acumulado retido (soma progressiva dos percentuais retidos, indo da peneira mais grossa para a mais fina) e então o percentual passando (cumulativo finos) como
\%\text{ passando na peneira }i = 100\% - \%\text{ retido acumulado até }i.é
Cálculo do retido acumulado (mostro os primeiros passos):
\%\text{ retido acumulado após 6} = 8{,}35\%.ó
\%\text{ retido acumulado após 8} = 8{,}35\%+11{,}37\%=19{,}72\%.ó
Continuando até o fim (soma progressiva dos valores do Passo 3) obtém-se o retido acumulado final 100\% (confere com soma das massas).

Passo 5

Resultados numéricos da distribuição acumulativa (apresento percentual passando em cada abertura). Usei os percentuais do passo anterior e calculei o acumulado retido e depois 100\%- acumulado:
\begin{array}{c|c|c} \text{Peneira (malhas)} & \%\text{ retido acumulado} & \%\text{ passando (cumulativo)}\\hline 4 & 0{,}00\% & 100{,}00\%\\\\ 6 & 8{,}35\% & 91{,}65\%\\\\ 8 & 19{,}72\% & 80{,}28\%\\\\ 10 & 38{,}46\% & 61{,}54\%\\\\ 14 & 67{,}72\% & 32{,}28\%\\\\ 20 & 78{,}94\% & 21{,}06\%\\\\ 28 & 85{,}04\% & 14{,}96\%\\\\ 35 & 89{,}32\% & 10{,}68\%\\\\ 48 & 92{,}23\% & 7{,}77\%\\\\ 65 & 94{,}58\% & 5{,}42\%\\\\ 100 & 96{,}72\% & 3{,}28\%\\\\ 150 & 98{,}50\% & 1{,}50\%\\\\ 300 & 100{,}00\% & 0{,}00\% \end{array}

Passo 6

Para determinar o número de partículas por grama e a superfície específica precisamos estimar um diâmetro representativo de cada classe. Vou:
  • Converter o número da malha em abertura (diâmetro de abertura) pela aproximação habitual (abertura em mm):
d_{\text{abertura (mm)}}=\frac{25{,}4}{\text{malha}}.
(esta é uma aproximação comum para converter “mesh” em abertura em mm quando não se tem a tabela detalhada).
  • O intervalo de partículas retidas em uma peneira i fica entre a abertura da peneira i e a abertura da peneira imediatamente mais grosseira (a anterior). O diâmetro representativo de cada classe é tomado como a média geométrica (raiz quadrada do produto) das aberturas que limitam a classe:
d_{\text{rep},i}=\sqrt{d_{i}\cdot d_{i-1}}.
Vou calcular as aberturas e os diâmetros representativos (mostro a fórmula e os valores).

Passo 7

Conversão malha → abertura (usei a fórmula d=25{,}4/\text{malha} em mm) e cálculo da média geométrica entre aberturas adjacentes (apresentei resultados arredondados):
\begin{array}{c|c} \text{Malha} & d_{\text{abertura (mm)}}\\hline 4 & 6{,}350\\\\ 6 & 4{,}233\\\\ 8 & 3{,}175\\\\ 10 & 2{,}540\\\\ 14 & 1{,}814\\\\ 20 & 1{,}270\\\\ 28 & 0{,}907\\\\ 35 & 0{,}726\\\\ 48 & 0{,}529\\\\ 65 & 0{,}391\\\\ 100 & 0{,}254\\\\ 150 & 0{,}169\\\\ 300 & 0{,}085 \end{array}
Diâmetros representativos (média geométrica entre abertura atual e a abertura anterior mais grossa):
\begin{array}{c|c} \text{Peneira} & d_{\text{rep (mm)}}\\hline 6 & 5{,}184\\\\ 8 & 3{,}665\\\\ 10 & 2{,}841\\\\ 14 & 2{,}147\\\\ 20 & 1{,}518\\\\ 28 & 1{,}074\\\\ 35 & 0{,}811\\\\ 48 & 0{,}620\\\\ 65 & 0{,}455\\\\ 100 & 0{,}315\\\\ 150 & 0{,}207\\\\ 300 & 0{,}120 \end{array}
(Observação: não há partículas retidas em 4, então a primeira classe útil é a da peneira 6, entre 4 e 6.)

Passo 8

Agora modelagem geométrica e fórmulas físicas — explico o que vou usar e por quê:
  • Para volume de uma partícula tomo a forma equivalente modificada pelo fator de volume b. Para uma esfera o volume é \dfrac{\pi}{6}d^{3}. Com o fator de volume dado b usamos:
V_{p}=\frac{\pi}{6}\,b\,d^{3},
onde d é o diâmetro representativo em centímetros e b é o fator de volume ( b=3{,}44 no enunciado). Interpretação: b multiplica o volume de uma esfera de diâmetro d para modelar partículas não esféricas.
  • A massa de uma partícula é:
m_{p}=\rho\,V_{p}=\rho\frac{\pi}{6}b\,d^{3}.
Aqui \rho é a massa específica em \mathrm{g/cm^{3}}, d em cm, então m_{p} sai em g.
  • Para a área de superfície de uma partícula uso o fator de superfície a multiplicando a área de uma esfera de diâmetro d. A área de uma esfera é \pi d^{2}. Com o fator a temos:
S_{p}=\pi\,a\,d^{2}.
Esta fórmula dá a área em \mathrm{cm^{2}} se d estiver em cm.
  • Observação de unidades: Nas fórmulas acima d deve ser em \mathrm{cm}. Como calculei d em \mathrm{mm}, faço a conversão d_{\text{cm}}=0{,}1\,d_{\text{mm}}.

Passo 9

Simplificação numérica das constantes para facilitar contas sem calculadora (mostro como obtive as constantes para usar na prova):
Defino d em mm. Então d_{\text{cm}}=0{,}1d_{\text{mm}} e d_{\text{cm}}^{3}=10^{-3}d_{\text{mm}}^{3}.
A massa por partícula em gramas fica:
m_{p}=\rho\frac{\pi}{6}b\,d_{\text{cm}}^{3} = \rho\frac{\pi}{6}b\,(10^{-3}d_{\text{mm}}^{3}).
Calculo a constante multiplicativa:
C_{m}=\rho\frac{\pi}{6}b.
Substituindo \rho=2{,}37, b=3{,}44 e \pi/6\approx0{,}5235988:
C_{m}=2{,}37\times0{,}5235988\times3{,}44\approx4{,}2674.
Portanto
m_{p}\\ (\mathrm{g})\approx 4{,}2674\times10^{-3}\,d_{\text{mm}}^{3} =0{,}0042674\,d_{\text{mm}}^{3}.
A área de superfície por partícula (em \mathrm{cm^{2}}) é:
S_{p}=\pi a d_{\text{cm}}^{2}=\pi a (0{,}1d_{\text{mm}})^{2}=\pi a (0{,}01)d_{\text{mm}}^{2}.
Calculo a constante:
C_{s}=\pi a \times 0{,}01.
Com a=2{,}20 e \pi\approx3{,}1416:
C_{s}\approx3{,}1416\times2{,}20\times0{,}01\approx0{,}069115.
Logo
S_{p}\\ (\mathrm{cm^{2}})\approx0{,}069115\,d_{\text{mm}}^{2}.
Para converter \mathrm{cm^{2}} em \mathrm{m^{2}} usamos 1\\ \mathrm{cm^{2}}=10^{-4}\\ \mathrm{m^{2}}.

Passo 10

Cálculo do número de partículas por grama: para cada classe i,
\text{nº partículas por grama na classe }i = \frac{w_{i}}{m_{p,i}}ºí
onde w_{i} é a massa da classe por grama de amostra (isto é, \%\text{ retido}_i/100, massa em g por g). Usei os d_{\text{rep}} do Passo 7 e a fórmula de m_{p} do Passo 9. Apresento os cálculos por classe (arredondei os resultados a 3 algarismos relevantes):
Exemplo para a classe da peneira 6:
  • d_{\text{rep}}=5{,}184\\ \mathrm{mm}\Rightarrow d^{3}=139{,}31
  • m_{p}=0{,}0042674\times139{,}31\approx0{,}5947\\ \mathrm{g/partícula}í
  • w_{6}=0{,}0835\\ \mathrm{g\\ por\\ g\\ de\\ amostra}
  • n_{6}=\dfrac{0{,}0835}{0{,}5947}\approx0{,}1405\\ \text{partículas/g}í.
Fiz isso para todas as classes. Resultados (números aproximados):
\begin{array}{c|c} \text{Peneira} & \text{Nº part. por g (aprox.)}\\hline 6 & 0{,}141\\\\ 8 & 0{,}542\\\\ 10 & 1{,}916\\\\ 14 & 6{,}927\\\\ 20 & 7{,}517\\\\ 28 & 11{,}56\\\\ 35 & 18{,}80\\\\ 48 & 28{,}67\\\\ 65 & 58{,}68\\\\ 100 & 160{,}6\\\\ 150 & 466{,}8\\\\ 300 & 2047{,}1 \end{array}º
Somando as contribuições de todas as classes obtemos o número total de partículas por grama da amostra:
N_{\text{total}}\approx 2{,}809\times10^{3}\\ \text{partículas/g}.í

Passo 11

Cálculo da superfície específica (área por grama). Para cada classe:
  • área por partícula S_{p,i}\\ (\mathrm{cm^{2}})=0{,}069115\,d_{\text{mm},i}^{2} (veja Passo 9).
  • contribuição da classe à área por grama = n_{i}\times S_{p,i} (em \mathrm{cm^{2}/g}).
  • somando todas as classes obtém-se S_{\text{total}} em \mathrm{cm^{2}/g}; dividir por 10^{4} para obter \mathrm{m^{2}/g}.
Exemplo para a peneira 6:
  • d=5{,}184\\ \mathrm{mm}\Rightarrow d^{2}=26{,}874
  • S_{p}=0{,}069115\times26{,}874\approx1{,}858\\ \mathrm{cm^{2}/partícula}í
  • contribuição por g =0{,}1405\times1{,}858\approx0{,}2613\\ \mathrm{cm^{2}/g}.
Repito para todas as classes; somando as contribuições obtive:
S_{\text{total}}\approx13{,}124\\ \mathrm{cm^{2}/g}.
Convertendo para \mathrm{m^{2}/g}:
S_{\text{específica}}\approx\frac{13{,}124}{10^{4}}=0{,}0013124\\ \mathrm{m^{2}/g}.í

Passo 12

Interpretação rápida e checagem: valores fazem sentido físico — partículas muito grossas (malhas pequenas) contribuem pouco em número e área; as mais finas (300,150,100) dominam o número e contribuem significativamente para a área específica. A soma das massas e dos percentuais conferiu 80{,}000\\ \mathrm{g} e 100\%, respectivamente, o que valida os cálculos de percentuais.

Resposta

Distribuição diferencial (percentual retido em cada peneira):
4:0{,}00\%, 6:8{,}35\%, 8:11{,}37\%, 10:18{,}74\%, 14:29{,}26\%, 20:11{,}22\%, 28:6{,}10\%, 35:4{,}28\%, 48:2{,}91\%, 65:2{,}35\%, 100:2{,}14\%, 150:1{,}78\%, 300:1{,}50\%.
Distribuição acumulativa (percentual passando em cada abertura):
4:100{,}00\%, 6:91{,}65\%, 8:80{,}28\%, 10:61{,}54\%, 14:32{,}28\%, 20:21{,}06\%, 28:14{,}96\%, 35:10{,}68\%, 48:7{,}77\%, 65:5{,}42\%, 100:3{,}28\%, 150:1{,}50\%, 300:0{,}00\%.
Número de partículas por grama:
\;N_{\text{total}}\approx 2{,}81\times10^{3}\\ \text{partículas/g}.í
Superfície específica do material:
\;S_{\text{específica}}\approx 1{,}31\times10^{-3}\\ \mathrm{m^{2}/g}.í

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