Os resultados de uma análise granulométrica de quartzo estão representados na tabela abaixo. Determinar as distribuições de tamanho diferencial e acumulativa. Determinar também o número de partículas por grama e a superfície específica do material. Dados: massa específica
e fatores de forma
.
Peneira
(malhas)
Massa
retida (g)
4
0,000
6
6,680
8
9,096
10
14,992
14
23,408
20
8,976
28
4,880
35
3,424
48
2,328
65
1,882
100
1,712
150
1,422
300
1,200
|
|
||||
| 4 | 0,000 | ||||
| 6 | 6,680 | ||||
| 8 | 9,096 | ||||
| 10 | 14,992 | ||||
| 14 | 23,408 | ||||
| 20 | 8,976 | ||||
| 28 | 4,880 | ||||
| 35 | 3,424 | ||||
| 48 | 2,328 | ||||
| 65 | 1,882 | ||||
| 100 | 1,712 | ||||
| 150 | 1,422 | ||||
| 300 | 1,200 |
Passo 1
O enunciado fornece uma tabela com o número da peneira (malhas) e a massa retida em cada peneira (em g). Perguntas a responder:
- Determinar a distribuição de tamanho diferencial (percentual retido por classe).
- Determinar a distribuição de tamanho acumulativa (percentual passando em cada abertura).
- Determinar o número de partículas por grama do material.
- Determinar a superfície específica do material (área por unidade de massa).
Dados fornecidos (extraídos da tabela do enunciado):
Outros dados: massa específica
; fatores de forma
(fator de superfície) e
(fator de volume).
Passo 2
Primeiro passo prático: totalizar a massa da amostra para transformar as massas retidas em percentuais (distribuição diferencial). Soma das massas (peguei esses valores diretamente da tabela do enunciado):
Portanto a amostra total é
.
A distribuição diferencial (percentual retido por peneira) é dada por:
Vou calcular cada
retido (vou arredondar os percentuais a duas casas decimais).
Passo 3
Cálculo da distribuição diferencial (percentual retido em cada peneira). Faço a divisão massa/80 e multiplico por 100; mostro alguns exemplos e depois os resultados:
Exemplo para a peneira 6:
Aplicando a mesma fórmula a todas as peneiras, obtemos:
Passo 4
Agora a distribuição acumulativa. Vou calcular o acumulado retido (soma progressiva dos percentuais retidos, indo da peneira mais grossa para a mais fina) e então o percentual passando (cumulativo finos) como
Cálculo do retido acumulado (mostro os primeiros passos):
Continuando até o fim (soma progressiva dos valores do Passo 3) obtém-se o retido acumulado final
(confere com soma das massas).
Passo 5
Resultados numéricos da distribuição acumulativa (apresento percentual passando em cada abertura). Usei os percentuais do passo anterior e calculei o acumulado retido e depois
acumulado:
Passo 6
Para determinar o número de partículas por grama e a superfície específica precisamos estimar um diâmetro representativo de cada classe. Vou:
- Converter o número da malha em abertura (diâmetro de abertura) pela aproximação habitual (abertura em mm):
(esta é uma aproximação comum para converter “mesh” em abertura em mm quando não se tem a tabela detalhada).
- O intervalo de partículas retidas em uma peneira
fica entre a abertura da peneira e a abertura da peneira imediatamente mais grosseira (a anterior). O diâmetro representativo de cada classe é tomado como a média geométrica (raiz quadrada do produto) das aberturas que limitam a classe:
Vou calcular as aberturas e os diâmetros representativos (mostro a fórmula e os valores).
Passo 7
Conversão malha → abertura (usei a fórmula
em mm) e cálculo da média geométrica entre aberturas adjacentes (apresentei resultados arredondados):
Diâmetros representativos (média geométrica entre abertura atual e a abertura anterior mais grossa):
(Observação: não há partículas retidas em 4, então a primeira classe útil é a da peneira 6, entre 4 e 6.)
Passo 8
Agora modelagem geométrica e fórmulas físicas — explico o que vou usar e por quê:
- Para volume de uma partícula tomo a forma equivalente modificada pelo fator de volume
. Para uma esfera o volume é . Com o fator de volume dado usamos:
onde
é o diâmetro representativo em centímetros e
é o fator de volume (
no enunciado). Interpretação:
multiplica o volume de uma esfera de diâmetro
para modelar partículas não esféricas.
- A massa de uma partícula é:
Aqui
é a massa específica em
,
em cm, então
sai em g.
- Para a área de superfície de uma partícula uso o fator de superfície
multiplicando a área de uma esfera de diâmetro . A área de uma esfera é . Com o fator temos:
Esta fórmula dá a área em
se
estiver em cm.
- Observação de unidades: Nas fórmulas acima
deve ser em . Como calculei em , faço a conversão .
Passo 9
Simplificação numérica das constantes para facilitar contas sem calculadora (mostro como obtive as constantes para usar na prova):
Defino
em mm. Então
e
.
A massa por partícula em gramas fica:
Calculo a constante multiplicativa:
Substituindo
,
e
:
Portanto
A área de superfície por partícula (em
) é:
Calculo a constante:
Com
e
:
Logo
Para converter
em
usamos
.
Passo 10
Cálculo do número de partículas por grama: para cada classe
,
onde
é a massa da classe por grama de amostra (isto é,
, massa em g por g). Usei os
do Passo 7 e a fórmula de
do Passo 9. Apresento os cálculos por classe (arredondei os resultados a 3 algarismos relevantes):
Exemplo para a classe da peneira 6:
-
-
-
-
.
Fiz isso para todas as classes. Resultados (números aproximados):
Somando as contribuições de todas as classes obtemos o número total de partículas por grama da amostra:
Passo 11
Cálculo da superfície específica (área por grama). Para cada classe:
- área por partícula
(veja Passo 9). - contribuição da classe à área por grama =
(em ). - somando todas as classes obtém-se
em ; dividir por para obter .
Exemplo para a peneira 6:
-
-
- contribuição por g
.
Repito para todas as classes; somando as contribuições obtive:
Convertendo para
:
Passo 12
Interpretação rápida e checagem: valores fazem sentido físico — partículas muito grossas (malhas pequenas) contribuem pouco em número e área; as mais finas (300,150,100) dominam o número e contribuem significativamente para a área específica. A soma das massas e dos percentuais conferiu
e
, respectivamente, o que valida os cálculos de percentuais.
Resposta
Distribuição diferencial (percentual retido em cada peneira):
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
.
Distribuição acumulativa (percentual passando em cada abertura):
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
.
Número de partículas por grama:
Superfície específica do material: