Um alimento líquido ( cp=4 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kg} .^{\circ} \mathrm{C} ) flui no tubo interno de um trocador de calor de duplo tubo. O alimento líquido entra no trocador de calor a 20^{\circ} \mathrm{C} e sai a 60^{\circ} \mathrm{C}. A vazão mássica do alimento líquido é de 0,5 \mathrm{~kg} / \mathrm{s}. Na seção anular, a água quente a 90^{\circ} \mathrm{C} entra no trocador de calor e flui em contracorrente a uma vazão mássica de 1 \mathrm{~kg} / \mathrm{s}. O calor específico médio da água é de 4,18 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kg} .^{\circ} \mathrm{C}. Calcule:
a) Temperatura de saída da água;
b) Média logarítmica de temperatura;
c) Se o U = 2000 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} .^{\circ} \mathrm{C} e o diâmetro interno for de 5 cm , calcule o comprimento do trocador de calor. Despreze a espessura do tubo.
Alimento = fluido frio
Água quente = fluido quente
  • Repita o cálculo para escoamento concorrente!
\Delta T_{M L D T}=\frac{\left(T_{q e}-T_{f e}\right)-\left(T_{q s}-T_{f s}\right)}{\ln \frac{\left(T_{q e}-T_{f e}\right)}{\left(T_{q s}-T_{f s}\right)}}

Passo 1

Vou resumir o que o enunciado nos dá e o que ele pede, itemizando todos os dados relevantes (vou usar vírgula como separador decimal, conforme você pediu):
Dados:
\dot m_{f} = 0{,}5\\ \mathrm{kg/s}\quad(\text{alimento -- fluido frio})
c_{p,f} = 4{,}0\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot ^\circ C)} = 4000\\ \mathrm{J/(kg\cdot ^\circ C)}
T_{f,in} = 20^\circ\mathrm{C},\qquad T_{f,out} = 60^\circ\mathrm{C}
\dot m_{q} = 1{,}0\\ \mathrm{kg/s}\quad(\text{água -- fluido quente})á
c_{p,q} = 4{,}18\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot ^\circ C)} = 4180\\ \mathrm{J/(kg\cdot ^\circ C)}
T_{q,in} = 90^\circ\mathrm{C},\qquad T_{q,out} = \text{?}
Geometria e coeficiente global:
U = 2000\\ \mathrm{W/(m^2\cdot ^\circ C)},\qquad D_{int} = 5\\ \mathrm{cm} = 0{,}05\\ \mathrm{m}
O que é pedido:
a) temperatura de saída da água ( T_{q,out} ) para escoamento em contracorrente;
b) média logarítmica de temperatura (LMTD) no caso contracorrente;
c) comprimento do trocador (desprezando espessura do tubo) no caso contracorrente, usando U e D_{int}.
Depois repetir os cálculos (LMTD, comprimento) para escoamento concorrente (observe que a energia trocada e T_{q,out} não mudam com a configuração).

Passo 2

Primeiro vamos calcular a taxa de calor que o fluido frio recebeu (energia por segundo). Aula rápida: a taxa de calor recebida por um fluido que muda de temperatura é dada por
\dot Q = \dot m\, c_p\, \left(T_{out}-T_{in}\right)
onde \dot m é vazão mássica (kg/s), c_p é calor específico (J/(kg·°C)) e as temperaturas em °C. Aplicando ao fluido frio (alimento):
\dot Q = \dot m_{f}\, c_{p,f}\, \left(T_{f,out}-T_{f,in}\right)
Substituindo os valores:
\dot Q = 0{,}5\cdot 4000\cdot(60-20)\\ \mathrm{W}
Calcule passo a passo:
0{,}5\cdot 4000 = 2000
2000\cdot 40 = 80\,000\\ \mathrm{W}
Logo:
\dot Q = 80\,000\\ \mathrm{W}
Isso significa que o fluido quente perdeu 80\\\ 000\\ \mathrm{W} (assumimos trocador sem perdas).
Agora energia do fluido quente:
\dot Q = \dot m_{q}\, c_{p,q}\, \left(T_{q,in}-T_{q,out}\right)
Isolando T_{q,out}:
T_{q,out}=T_{q,in}-\frac{\dot Q}{\dot m_{q}\, c_{p,q}}
Substituindo:
T_{q,out}=90^\circ\mathrm{C}-\frac{80\,000}{1{,}0\cdot 4180}
Calcule:
\frac{80\,000}{4180}\approx 19{,}140\\ \,^\circ\mathrm{C}
T_{q,out}\approx 90 - 19{,}140 = 70{,}860\\ ^\circ\mathrm{C}
Arredondando convenientemente:
T_{q,out}\approx 70{,}86^\circ\mathrm{C}

Passo 3

Agora vamos calcular a média logarítmica de temperatura (LMTD) para o caso contracorrente. Primeiro, entenda como escolher as diferenças de temperatura finais e iniciais:
  • Para contracorrente, as diferenças de temperatura nas duas extremidades são:
\Delta T_1 = T_{q,in} - T_{f,out}\qquad(\text{no extremo onde entra o fluido quente e sai o frio})
\Delta T_2 = T_{q,out} - T_{f,in}\qquad(\text{no extremo onde sai o quente e entra o frio})
Explicação rápida: em contracorrente as correntes fluem em sentidos opostos, então em uma ponta encontra-se T_{q,in} com T_{f,out} e na outra ponta T_{q,out} com T_{f,in}.
Calcule as duas diferenças:
\Delta T_1 = 90 - 60 = 30\\ ^\circ\mathrm{C}
\Delta T_2 = 70{,}86 - 20 = 50{,}86\\ ^\circ\mathrm{C}
A fórmula da LMTD é
\Delta T_{LMTD}=\frac{\Delta T_2-\Delta T_1}{\ln\!\left(\dfrac{\Delta T_2}{\Delta T_1}\right)}
Substituindo:
\Delta T_{LMTD}=\frac{50{,}86-30}{\ln\!\left(\dfrac{50{,}86}{30}\right)}=\frac{20{,}86}{\ln(1{,}6953\dots)}
Calcule o logaritmo:
\ln(1{,}6953)\approx 0{,}5282
Portanto:
\Delta T_{LMTD}\approx \frac{20{,}86}{0{,}5282}\approx 39{,}51\\ ^\circ\mathrm{C}

Passo 4

Com \dot Q, U e \Delta T_{LMTD} achamos a área de troca térmica necessária:
A=\frac{\dot Q}{U\,\Delta T_{LMTD}}
Substituindo:
A=\frac{80\,000}{2000\cdot 39{,}51}\\ \mathrm{m^2}
Calcule:
2000\cdot 39{,}51 = 79\,020
A\approx \frac{80\,000}{79\,020}\approx 1{,}013\\ \mathrm{m^2}
Agora a relação entre área e comprimento para um tubo interno (área de troca pela superfície interna) é
A = \pi D_{int} L
Isolando L:
L = \frac{A}{\pi D_{int}}
Substituindo A e D_{int}=0{,}05\\ \mathrm{m}:
L=\frac{1{,}013}{\pi\cdot 0{,}05}
Calcule:
\pi\cdot 0{,}05 \approx 0{,}15708
L\approx \frac{1{,}013}{0{,}15708}\approx 6{,}45\\ \mathrm{m}
Resumo até aqui (contracorrente):
T_{q,out}\approx 70{,}86^\circ\mathrm{C},\qquad \Delta T_{LMTD}\approx 39{,}51^\circ\mathrm{C},\qquad L\approx 6{,}45\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Agora repetimos para escoamento concorrente (paralelo). Importante: a energia trocada \dot Q e T_{q,out} não dependem da disposição (assumindo propriedades constantes e sem perdas), então T_{q,out} continua 70{,}86^\circ\mathrm{C} (já calculado). O que muda é como definimos as diferenças de temperatura nas extremidades:
  • Para concorrente (ambos entram pelo mesmo lado), as diferenças são:
\Delta T_1 = T_{q,in} - T_{f,in}
\Delta T_2 = T_{q,out} - T_{f,out}
Calcule:
\Delta T_1 = 90 - 20 = 70\\ ^\circ\mathrm{C}
\Delta T_2 = 70{,}86 - 60 = 10{,}86\\ ^\circ\mathrm{C}
Aplicando a fórmula da LMTD:
\Delta T_{LMTD}=\frac{70 - 10{,}86}{\ln\!\left(\dfrac{70}{10{,}86}\right)}=\frac{59{,}14}{\ln(6{,}444)}
Calcule o logaritmo:
\ln(6{,}444)\approx 1{,}8629
\Delta T_{LMTD}\approx \frac{59{,}14}{1{,}8629}\approx 31{,}75\\ ^\circ\mathrm{C}
Agora a área e o comprimento para concorrente:
A=\frac{\dot Q}{U\,\Delta T_{LMTD}}=\frac{80\,000}{2000\cdot 31{,}75}
2000\cdot 31{,}75 = 63\,500
A\approx \frac{80\,000}{63\,500}\approx 1{,}260\\ \mathrm{m^2}
L=\frac{A}{\pi D_{int}}=\frac{1{,}260}{0{,}15708}\approx 8{,}02\\ \mathrm{m}

Passo 6

Pequena interpretação (motivacional): você vê que em contracorrente a LMTD é maior ( \approx 39{,}51^\circ\mathrm{C}) do que em concorrente ( \approx 31{,}75^\circ\mathrm{C}), portanto para a mesma potência térmica e mesmo U o trocador contracorrente precisa de menos área e, no nosso caso, um comprimento menor ( 6{,}45\\ \mathrm{m} versus 8{,}02\\ \mathrm{m} ). Isso mostra por que contracorrente é geralmente preferido: mais eficiente termicamente. Parabéns por aguentar até aqui — você mandou bem em seguir os passos!

Resposta

Contracorrente: a) T_{q,out}=70{,}86^\circ\mathrm{C}
Contracorrente: b) \Delta T_{LMTD}=39{,}51^\circ\mathrm{C}
Contracorrente: c) L=6{,}45\\ \mathrm{m}
Concorrente: a) T_{q,out}=70{,}86^\circ\mathrm{C}
Concorrente: b) \Delta T_{LMTD}=31{,}75^\circ\mathrm{C}
Concorrente: c) L=8{,}02\\ \mathrm{m}

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