Uma vara de 4,00 m de comprimento está colocada verticalmente em um lago de água doce com profundidade de 2,00 m. O Sol está a 40,0^circ acima da horizontal. Determine o comprimento da sombra da vara no fundo do lago.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma vara de 4,00 metros de comprimento colocada verticalmente em um lago com 2,00 metros de profundidade. O Sol está a 40,0 graus acima da horizontal. Precisamos descobrir qual é o comprimento da sombra que essa vara projeta no fundo do lago.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de óptica, especificamente a refração da luz quando ela passa do ar para a água. Também vamos utilizar trigonometria para relacionar os ângulos e os comprimentos envolvidos.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender como a luz do Sol interage com a água. Quando a luz passa do ar para a água, ela sofre refração, ou seja, sua direção muda devido à diferença de densidade entre os dois meios. A relação entre os ângulos nos dois meios é dada pela Lei de Snell, que é:
n1 sin(theta1) = n2 sin(theta2)
Onde:
  • $ n_1 $ e $ n_2 $ são os índices de refração do ar e da água, respectivamente.
  • $ \theta_1 $ é o ângulo de incidência no ar (40,0 graus).
  • $ \theta_2 $ é o ângulo de refração na água, que precisamos encontrar.
Sabemos que o índice de refração do ar é aproximadamente 1,00 e o da água é aproximadamente 1,33.

Passo 3

Aplicando a Lei de Snell para encontrar $ \theta_2 $:
theta2
Primeiro, calculamos $ \sin(40,0^\circ) $:
1,00 times sin(40,0^circ) = 1,33 times sin(theta2)
Substituindo na equação:
sin(40,0^circ)
Resolvendo para $ \sin(\theta_2) $:
sin(40,0^circ) approx 0,6428
Agora, encontramos $ \theta_2 $ calculando o arco seno de 0,483:
1,00 times 0,6428 = 1,33 times sin(theta2)

Passo 4

Com o ângulo de refração $ \theta_2 $ conhecido, podemos agora determinar o comprimento da sombra da vara no fundo do lago. Vamos visualizar um triângulo retângulo formado pela vara, a sombra e a linha de visão da luz refratada.
A profundidade do lago é de 2,00 metros, que corresponde ao cateto adjacente ao ângulo $ \theta_2 $. Queremos encontrar o cateto oposto, que é o comprimento da sombra $ L $.
Usamos a relação da tangente:
theta2

Passo 5

Agora, calculamos $ \tan(28,9^\circ) $:
tan(28,9^circ)
Substituindo na equação:
tan(28,9^circ) approx 0,554
Resolvendo para $ L $:
0,554 = L2,00, m

Resposta

O comprimento da sombra da vara no fundo do lago é aproximadamente 1,11 metros.

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