Um raio de luz entra na atmosfera da Terra e desce verticalmente em direção à superfície a uma distância
. O índice de refração no qual a luz entra na atmosfera é 1,00 e aumenta linearmente com a distância para chegar ao valor
na superfície da Terra.
a) Em qual intervalo de tempo a luz percorre esse caminho?
b) Em qual porcentagem o intervalo de tempo é maior que o necessário na ausência da atmosfera da Terra?
a) Em qual intervalo de tempo a luz percorre esse caminho?
b) Em qual porcentagem o intervalo de tempo é maior que o necessário na ausência da atmosfera da Terra?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um raio de luz que entra na atmosfera da Terra e desce verticalmente até a superfície, numa distância de $ h = 100 $ km. O índice de refração $ n $ começa em 1,00 lá no topo e aumenta linearmente até $ n = 1,000293 $ na superfície. A gente precisa descobrir:
a) Quanto tempo a luz leva para percorrer esse caminho.
b) Em que porcentagem esse tempo é maior do que se não tivesse atmosfera.
Vamos usar conceitos de velocidade da luz e índice de refração para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o índice de refração $ n $. Ele relaciona a velocidade da luz no vácuo $ c $ com a velocidade da luz no meio $ v $ pela fórmula:
Então, se conhecemos $ n $, podemos achar $ v $:
Passo 3
Como o índice de refração muda de forma linear com a altitude, podemos modelar $ n $ como função da altura $ y $:
Simplificando:
Aqui, $ y $ varia de 0 (superfície) a 100 km (100.000 m).
Passo 4
Para encontrar o tempo total $ t $ que a luz leva para percorrer os 100 km, vamos integrar o tempo diferencial $ dt $ para cada pequeno trecho $ dy $:
Aqui, $ \frac{n(y)}{c} dy $ representa o tempo para percorrer um diferencial de distância $ dy $ com índice de refração $ n(y) $.
Passo 5
Substituindo $ n(y) $ na integral:
Vamos separar a integral:
Passo 6
Calculando as integrais:
Então:
Passo 7
Substituindo $ c = 3 \times 10^8 $ m/s:
Calculando cada termo:
Passo 8
Somando os dois tempos:
Ou seja, aproximadamente $ 8,216 \times 10^{-4} $ segundos.
Resposta
a) O intervalo de tempo que a luz percorre os 100 km é aproximadamente $ 8,216 \times 10^{-4} $ segundos.