Um raio de luz entra na atmosfera da Terra e desce verticalmente em direção à superfície a uma distância h=100 km. O índice de refração no qual a luz entra na atmosfera é 1,00 e aumenta linearmente com a distância para chegar ao valor n=1,000293 na superfície da Terra.
a) Em qual intervalo de tempo a luz percorre esse caminho?
b) Em qual porcentagem o intervalo de tempo é maior que o necessário na ausência da atmosfera da Terra?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um raio de luz que entra na atmosfera da Terra e desce verticalmente até a superfície, numa distância de $ h = 100 $ km. O índice de refração $ n $ começa em 1,00 lá no topo e aumenta linearmente até $ n = 1,000293 $ na superfície. A gente precisa descobrir:
a) Quanto tempo a luz leva para percorrer esse caminho.
b) Em que porcentagem esse tempo é maior do que se não tivesse atmosfera.
Vamos usar conceitos de velocidade da luz e índice de refração para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o índice de refração $ n $. Ele relaciona a velocidade da luz no vácuo $ c $ com a velocidade da luz no meio $ v $ pela fórmula:
n
Então, se conhecemos $ n $, podemos achar $ v $:
c

Passo 3

Como o índice de refração muda de forma linear com a altitude, podemos modelar $ n $ como função da altura $ y $:
n
Simplificando:
y
Aqui, $ y $ varia de 0 (superfície) a 100 km (100.000 m).

Passo 4

Para encontrar o tempo total $ t $ que a luz leva para percorrer os 100 km, vamos integrar o tempo diferencial $ dt $ para cada pequeno trecho $ dy $:
t
Aqui, $ \frac{n(y)}{c} dy $ representa o tempo para percorrer um diferencial de distância $ dy $ com índice de refração $ n(y) $.

Passo 5

Substituindo $ n(y) $ na integral:
n(y)
Vamos separar a integral:
t = integral0^100,000 1,00 + 2,93 times 10^-5 yc dy

Passo 6

Calculando as integrais:
integral0^100,000 1, dy = 100,000
integral0^100,000 y, dy = (100,000)^22 = 5,000,000,000
Então:
t = 100,000c + 2,93 times 10^-5 times 5,000,000,000c

Passo 7

Substituindo $ c = 3 \times 10^8 $ m/s:
c = 3 times 10^8
Calculando cada termo:
t = 100,0003 times 10^8 + 2,93 times 10^-5 times 5,000,000,0003 times 10^8
100,0003 times 10^8 approx 3,333 times 10^-4 s

Passo 8

Somando os dois tempos:
t approx 3,333 times 10^-4 + 4,883 times 10^-4 = 8,216 times 10^-4 s
Ou seja, aproximadamente $ 8,216 \times 10^{-4} $ segundos.

Resposta

a) O intervalo de tempo que a luz percorre os 100 km é aproximadamente $ 8,216 \times 10^{-4} $ segundos.

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