Um varejista verificou que o custo (em reais) C(x) para pedir e estocar x unidades de um determinado produto é
C(x)=100(x+2025/x), se x>0.
Qual é o tamanho do pedido (em unidades) que minimiza o custo?
Resposta

Passo 1

Resumo: O enunciado dá a função de custo C(x)=100l(x+tfrac2025xr) para um pedido de x>0 unidades de um produto. O conteúdo é otimização de função de uma variável real, e vamos precisar de derivadas para achar pontos críticos e verificar mínimos.

Passo 2

Vamos calcular a derivada primeira C'(x). Como ddx(x)=1 e ddx(2025/x)=-2025/x^2, temos:
C'(x)=100l(1-2025x^2r)

Passo 3

Para encontrar o ponto crítico, igualamos C'(x)=0:
100l(1-2025x^2r)=0
Logo,
1-2025x^2=0
e
x^2=2025
Como x>0, temos x=raiz2025=45.

Passo 4

Para confirmar que é um mínimo, calculamos a segunda derivada:
C''(x)=100cdotddxl(1-2025x^-2r)=100cdot(0+2cdot2025x^-3)=405000x^3>0
Em particular, C''(45)>0, garantindo que o ponto é de mínimo.

Resposta

45 unidades

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