Q1 Aplicar a regra de L’Hopital para determinar o limite da sequencia
Passo 1
Beleza, vamos resolver o limite da sequência $ a_{n} = \left(\frac{n-1}{n+1}\right)^{n} $ quando $ n $ vai para o infinito. Para isso, vamos usar a regra de L’Hôpital, que é uma ferramenta bem útil para calcular limites, especialmente quando a expressão resulta em formas indeterminadas como
ou
.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do limite. Reescrevendo $ a_{n} $:
Para facilitar o cálculo do limite, vamos aplicar o logaritmo natural nos dois lados. Isso porque trabalhar com exponenciais é mais fácil depois de usar o logaritmo.
Passo 3
Aplicando o logaritmo natural:
Agora, nosso objetivo é encontrar o limite de $ \ln(a_{n}) $ quando $ n $ tende ao infinito e depois exponenciar o resultado para obter o limite de $ a_{n} $.
Passo 4
Vamos simplificar a fração dentro do logaritmo:
Quando $ n $ tende ao infinito,
tende a 0, então:
Isso nos mostra que a expressão dentro do logaritmo tende a 1, e sabemos que
. Mas como temos $ n $ multiplicando isso, precisamos analisar melhor usando a regra de L’Hôpital.
Passo 5
Vamos reescrever $ \ln(a_{n}) $:
Para facilitar, podemos reescrever $ n $ como $ \frac{\ln\left(1 - \frac{2}{n+1}\right)}{\frac{1}{n}} $. Assim, temos uma forma que permite usar a regra de L’Hôpital:
Essa expressão está na forma
, então podemos aplicar a regra de L’Hôpital.
Passo 6
Aplicando a regra de L’Hôpital, derivamos o numerador e o denominador em relação a $ n $:
Derivada do numerador:
Derivada do denominador:
Passo 7
Agora, aplicamos a regra de L’Hôpital:
Passo 8
Simplificando a expressão:
Porque, quando $ n $ tende ao infinito, $ \frac{2}{n+1} $ tende a 0, e
.
Passo 9
Então, encontramos que:
Para encontrar $ \lim_{n \to \infty} a_{n} $, tiramos o exponencial dos dois lados:
Resposta
O limite da sequência é $ e^{2} $.