Q1 Aplicar a regra de L’Hopital para determinar o limite da sequencia
an=(n-1n+1)^n

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite da sequência $ a_{n} = \left(\frac{n-1}{n+1}\right)^{n} $ quando $ n $ vai para o infinito. Para isso, vamos usar a regra de L’Hôpital, que é uma ferramenta bem útil para calcular limites, especialmente quando a expressão resulta em formas indeterminadas como an = (n-1n+1)^n ou n .

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do limite. Reescrevendo $ a_{n} $:
an
Para facilitar o cálculo do limite, vamos aplicar o logaritmo natural nos dois lados. Isso porque trabalhar com exponenciais é mais fácil depois de usar o logaritmo.

Passo 3

Aplicando o logaritmo natural:
ln(an) = n cdot ln(n-1n+1)
Agora, nosso objetivo é encontrar o limite de $ \ln(a_{n}) $ quando $ n $ tende ao infinito e depois exponenciar o resultado para obter o limite de $ a_{n} $.

Passo 4

Vamos simplificar a fração dentro do logaritmo:
n-1n+1 = n(1 - 1n)n(1 + 1n) = 1 - 1n1 + 1n
Quando $ n $ tende ao infinito, n tende a 0, então:
1n
Isso nos mostra que a expressão dentro do logaritmo tende a 1, e sabemos que 1 - 1n1 + 1n approx 1 - 01 + 0 = 1 . Mas como temos $ n $ multiplicando isso, precisamos analisar melhor usando a regra de L’Hôpital.

Passo 5

Vamos reescrever $ \ln(a_{n}) $:
ln(an)
Para facilitar, podemos reescrever $ n $ como $ \frac{\ln\left(1 - \frac{2}{n+1}\right)}{\frac{1}{n}} $. Assim, temos uma forma que permite usar a regra de L’Hôpital:
ln(an) = n cdot ln(1 - 2n+1)
Essa expressão está na forma n , então podemos aplicar a regra de L’Hôpital.

Passo 6

Aplicando a regra de L’Hôpital, derivamos o numerador e o denominador em relação a $ n $:
Derivada do numerador:
n
Derivada do denominador:
ddn ln(1 - 2n+1) = -2(n+1)^2 (1 - 2n+1)

Passo 7

Agora, aplicamos a regra de L’Hôpital:
limn to infty ln(1 - 2n+1)1n = limn to infty -2(n+1)^2 (1 - 2n+1)-1n^2 = limn to infty 2n^2(n+1)^2 (1 - 2n+1)

Passo 8

Simplificando a expressão:
2n^2(n+1)^2 (1 - 2n+1) approx 2n^2n^2 (1)^1 = 2
Porque, quando $ n $ tende ao infinito, $ \frac{2}{n+1} $ tende a 0, e n .

Passo 9

Então, encontramos que:
limn to infty ln(an) = 2
Para encontrar $ \lim_{n \to \infty} a_{n} $, tiramos o exponencial dos dois lados:
limn to infty an

Resposta

O limite da sequência é $ e^{2} $.

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