Conhecendo a transformada de Laplace da função exponencial, use a linearidade da transformada e as expressões do exercício anterior para calcular as transformadas
Lsen k t

Passo 1

No enunciado a gente quer calcular a transformada de Laplace de sin kt, usando duas ideias principais: a linearidade da transformada e a expressão da transformada de e^at. Para isso também vamos usar a identidade de Euler que vincula seno a exponenciais complexas.

Passo 2

A identidade de Euler diz que sin kt = e^ikt - e^-ikt2i. Essa reescrita é útil porque já conhecemos a transformada de Laplace de funções exponenciais.

Passo 3

Aplicando a linearidade da transformada de Laplace, temos:
Lsin kt = 12il(Le^ikt - Le^-iktr)
Como Le^at = 1s - a, substituímos a = ik e a = -ik:
Le^ikt = 1s - ik, Le^-ikt = 1s + ik

Passo 4

Agora só falta fazer a diferença e simplificar:
Lsin kt = 12il(1s - ik - 1s + ikr) = 12i cdot (s + ik) - (s - ik)(s - ik)(s + ik) = 12i cdot 2iks^2 + k^2 = ks^2 + k^2
Nesse passo usamos que (s - ik)(s + ik)=s^2+k^2 e simplificamos o 2i.

Resposta

ks^2 + k^2

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