Qual é a variação de entropia ( \Delta \mathrm{S} ) se a temperatura de um mol de um gás perfeito é aumentada de 100 K para 300 \mathrm{~K}, \mathrm{C}_{\mathrm{v}, \mathrm{m}}=(3 / 2) \mathrm{R}, se:
A pressão é constante?

Passo 1

O enunciado pede a variação de entropia \Delta S quando 1 mol de um gás perfeito é aquecido de 100\\ \mathrm{K} para 300\\ \mathrm{K} sob pressão constante. Informação fornecida:
  • Quantidade de substância: n=1 mol.
  • Temperaturas: T_1=100\\ \mathrm{K} e T_2=300\\ \mathrm{K}.
  • Capacidade calorífica molar a volume constante: C_{v,m}=\tfrac{3}{2}R.
  • Processo: pressão constante (isóbara).
    O que precisa ser encontrado: \Delta S (variação de entropia) do gás no processo.

Passo 2

Conceito-chave (o que é entropia aqui): para um processo reversível a temperatura variável, a variação de entropia é dada por
\Delta S=\int_{T_1}^{T_2}\frac{\delta Q_\text{rev}}{T},
onde \delta Q_\text{rev} é o pequeno calor trocado reversivelmente. Explicando: entropia mede a dispersão de energia por temperatura; em processos reversíveis calculamos \Delta S somando os incrementos \delta Q_\text{rev}/T ao longo do caminho.

Passo 3

Expressão do calor em processo isóbaro: em pressão constante o calor trocado por mol é dado por
\delta Q_\text{rev}=C_{p,m}\,dT,
onde C_{p,m} é a capacidade calorífica molar a pressão constante. Aqui C_{p,m} é constante (gás perfeito com C_{v,m} constante), então podemos escrever o integral de forma simples. Explicando C_{p,m}: é a razão entre o calor fornecido por mol e a variação de temperatura quando a pressão é mantida constante.

Passo 4

Relacionar C_{p,m} e C_{v,m} para gás ideal: para um gás perfeito vale
C_{p,m}=C_{v,m}+R.
Substituindo o dado C_{v,m}=\tfrac{3}{2}R obtemos
C_{p,m}=\tfrac{3}{2}R+R=\tfrac{5}{2}R.
Explicando: ao aquecer à pressão constante, além da energia interna que aumenta (medida por C_{v,m}), há trabalho p\,dV realizado; isso faz com que C_{p,m} seja maior que C_{v,m} exatamente em R por mol para o gás ideal.

Passo 5

Montar o integral de \Delta S usando \delta Q_\text{rev}=C_{p,m}\,dT:
\Delta S=\int_{T_1}^{T_2}\frac{C_{p,m}\,dT}{T}=C_{p,m}\int_{T_1}^{T_2}\frac{dT}{T}.
Como C_{p,m} é constante, o integral é logarítmico:
\Delta S=C_{p,m}\ln\!\left(\frac{T_2}{T_1}\right).
Aqui \ln é o logaritmo natural; isso vem da primitiva de 1/T.

Passo 6

Substituir C_{p,m}=\tfrac{5}{2}R, T_1=100\\ \mathrm{K}, T_2=300\\ \mathrm{K} e n=1:
\Delta S=\tfrac{5}{2}R\ln\!\left(\frac{300}{100}\right)=\tfrac{5}{2}R\ln 3.
Explicando: \ln(300/100)=\ln 3 porque as temperaturas entram apenas na razão.

Passo 7

Calcular numericamente usando R=8,3145\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}}:
\tfrac{5}{2}R=2{,}5\times 8{,}3145=20{,}78625\\ \mathrm{J\,K^{-1}},
\ln 3\approx 1{,}098612289,
\Delta S\approx 20{,}78625\times 1{,}098612289\approx 22{,}84\\ \mathrm{J\,K^{-1}}.
Unidades: como C_{p,m} tem \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}} e multiplicamos por número puro (log), ficamos com \mathrm{J\,K^{-1}} para 1 mol, que é consistente.

Passo 8

Interpretação rápida e incentivo: a variação de entropia é positiva porque a temperatura aumentou e calor foi absorvido pelo gás; isso significa mais dispersão de energia. Excelente — está indo bem, falta pouco para consolidar esse tipo de cálculo em prova!

Resposta

\Delta S=\dfrac{5}{2}R\ln 3\approx 22,84\\ \mathrm{J\,K^{-1}}

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