A variação da viscosidade da água com a temperatura é dada pela equação empírica
mu=A e^B / T
onde T é a temperatura absoluta. Os dados seguintes foram obtidos por meio de um viscosímetro de laboratório: a 10^circ C, mu=0,0013 kg / m s e a 20^circ C, mu=0,0010 kg / m s. Calcule as constantes A e B da equação. Calcule o erro ao estimar a viscosidade a 15^circ C.

Passo 1

Beleza, o problema diz que a viscosidade da água varia com a temperatura segundo a lei empírica
mu = A , e^B/T
onde é a temperatura absoluta (em K).
Ela nos dá dois pontos experimentais:
- a (  K),  kg/(m·s)
- a (  K),  kg/(m·s)
O que precisamos fazer:
  1. Encontrar e usando esses dois pontos (isso é resolução de sistema pela transformação logarítmica).
  2. Estimar a (  K) e calcular o erro dessa estimativa (aqui vamos comparar com uma interpolação linear simples, assumindo que ela seja nossa “referência” para ver o desvio).

Passo 2

Primeiro a gente transforma a equação em forma linear usando logaritmo natural:
lnmu = ln A + BT
Isso gera duas equações:
lnmu1 = ln A + dfracBT1,[6pt] lnmu2 = ln A + dfracBT2
Subtraindo a segunda da primeira para eliminar lnl(tfracmu1mu2r) = B!l(tfrac1T1-tfrac1T2r) ;;Longrightarrow;; B = ln(mu1/mu2)tfrac1T1-tfrac1T2 :
ln!l(tfrac0,00130,0010r) = ln(1,3)approx 0,2624, tfrac1T1-tfrac1T2 = tfrac1283,15-tfrac1293,15approx 1,2048times10^-4,
Agora é só botar números:
B approx 0,26241,2048times10^-4 approx 2,179times10^3; K
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Passo 3

Com A = mu1 , e^-,B/T1 = 0,0013 ; e^-,2179/283,15 approx 5,9times10^-7 (kg/(m·s)) em mãos, voltamos em qualquer uma das duas equações pra achar . Usando e :

Passo 4

Agora estimamos a viscosidade a murm modelo = A,e^B/T =5,9times10^-7;e^2179/288,15 approx 1,138times10^-3;kg/(mcdot s) ( murm interp = mu1 + 15-1020-10,(mu2-mu1) =0,0013 + 0,5cdot(-0,0003) =0,00115  K) pelo modelo:
De
Para ter um “erro”, vamos comparar com a interpolação linear entre e :
Então o erro absoluto e porcentual são:

Resposta

A = ,kg/(m·s)
B = ,K
Erro na estimativa a 15 °C ≈ 1,0 %.

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