O campo de velocidade dado por V=lang<= a x^2, b x yrang<=, em que a =1 m^-1 s^-1 eb=-1 m^-1 s^-1, pode ser utilizado para representar o escoamento em um canto. Determine uma equação para as linhas de corrente do escoamento.

Passo 1

Beleza, olha só o que a questão tá pedindo. A gente tem um escoamento 2D descrito pelo campo de velocidade
vec V(x,y) = lang<= a,x^2,; b,x,yrang<=
com dydx ;=;VyVx e . Ela quer a equação das linhas de corrente (ou “streamlines”) desse escoamento.
Conteúdo: teoria de equações diferenciais básicas e definição de linha de corrente em escoamento estacionário 2D.
O que vamos usar: definição de streamline
e resolver essa EDO por separação de variáveis.

Passo 2

Começando a resolver, a definição de linha de corrente em escoamento 2D diz que, em cada ponto, a reta da curva é tangente ao vetor velocidade:
dydx ;=;VyVx
Aqui dydx =b,x,ya,x^2 =ba,yx e dydx = -,yx . Então
Como e , fica

Passo 3

Agora é só resolver a equação diferencial
dydx = -yx
Isso é uma EDO de primeira ordem com variáveis separáveis. A gente escreve
dyy = -,dxx
Integramos dos dois lados:
integral 1y,dy = -integral 1x,dx Longrightarrow ln|y| = -ln|x| + C,
onde é a constante de integração.

Passo 4

Para ficar mais bonitinho, a gente reescreve:
ln|y| + ln|x| = C ;Longrightarrow; lnl(|x|,|y|r) = C ;Longrightarrow; |x,y| = e^C = C',
com x,y = C outra constante (positiva). Tirando o valor absoluto e chamando , obtemos a família de curvas

Resposta

As linhas de corrente desse escoamento são dadas por
boxedx,y = C,
onde é uma constante que identifica cada streamline.

Exercícios relacionados