O campo de velocidade dado por
, em que a
, pode ser utilizado para representar o escoamento em um canto. Determine uma equação para as linhas de corrente do escoamento.
Passo 1
Beleza, olha só o que a questão tá pedindo. A gente tem um escoamento 2D descrito pelo campo de velocidade
com
e
. Ela quer a equação das linhas de corrente (ou “streamlines”) desse escoamento.
Conteúdo: teoria de equações diferenciais básicas e definição de linha de corrente em escoamento estacionário 2D.
O que vamos usar: definição de streamline
Conteúdo: teoria de equações diferenciais básicas e definição de linha de corrente em escoamento estacionário 2D.
O que vamos usar: definição de streamline
e resolver essa EDO por separação de variáveis.
Passo 2
Começando a resolver, a definição de linha de corrente em escoamento 2D diz que, em cada ponto, a reta da curva é tangente ao vetor velocidade:
Aqui
e
. Então
Como
e
, fica
Passo 3
Agora é só resolver a equação diferencial
Isso é uma EDO de primeira ordem com variáveis separáveis. A gente escreve
Integramos dos dois lados:
onde
é a constante de integração.
Passo 4
Para ficar mais bonitinho, a gente reescreve:
com
outra constante (positiva). Tirando o valor absoluto e chamando
, obtemos a família de curvas
Resposta
As linhas de corrente desse escoamento são dadas por
onde
é uma constante que identifica cada streamline.