Variáveis Complexas
Como um número complexo na forma retangular pode ser transformado na forma polar?

Passo 1

O enunciado pede para converter um número complexo dado na forma retangular
z = x + j\,y
em sua forma polar, ou seja, escrever z como
z = r\bigl(\cos\theta + j\sin\theta\bigr) \quad\text{ou}\quad z = r\,e^{j\theta}.
Para isso precisamos calcular o módulo r e o argumento \theta de z.

Passo 2

O módulo r de z é a distância do ponto (x,y) à origem no plano complexo. Pela definição de distância no plano cartesiano,
r = \sqrt{x^2 + y^2}.

Passo 3

O argumento \theta\) de \(z\) é o ângulo que o vetor que vai da origem até \((x,y)\) faz com o eixo real positivo. Em termos de arco-tangente temos \[\theta = \operatorname{atan2}(y,x),
ou seja,
\theta = \begin{cases} \arctan\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr), & x>0,\\[6pt] \arctan\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr)+\pi, & x<0,\;y\ge0,\\[6pt] \arctan\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr)-\pi, & x<0,\;y<0,\\[6pt] +\tfrac{\pi}{2}, & x=0,\;y>0,\\[6pt] -\tfrac{\pi}{2}, & x=0,\;y<0. \end{cases}
Isso garante que (\theta] fique no quadrante correto.]

Passo 4

Substituindo r e \theta em
z = r\bigl(\cos\theta + j\sin\theta\bigr)
ou na forma exponencial
z = r\,e^{j\theta},
obtemos a forma polar de z.

Resposta

A forma polar de z = x + j\,y é
z = r\bigl(\cos\theta + j\sin\theta\bigr) \quad\text{ou}\quad z = r\,e^{j\theta},
onde
r = \sqrt{x^2 + y^2}, \quad \theta = \operatorname{atan2}(y,x).

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