Dois dados são jogados. Suponha que os 36 possíveis resultados sejam equiprováveis. Considere as seguintes variáveis aleatórias:
é igual ao número de pontos no primeiro dado;
é igual ao número de pontos no segundo dado;
;
.
a) Determine as funções de probabilidade de
e
.
b) Determine
.
a) Determine as funções de probabilidade de
b) Determine
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- (a) Determinar as funções de probabilidade (pmf) de
e de . - (b) Calcular
.
Informações dadas (pegar do enunciado):
- Dois dados justos são lançados; os
resultados ordenados são equiprováveis. - A variável aleatória
é o número de pontos no primeiro dado; logo para . - A variável aleatória
é o número de pontos no segundo dado; independente de e igualmente distribuída. - A variável
é dada por . - A variável
é dada por .
Passo 2
Explicando como obter a função de probabilidade de uma variável discreta que é função de outra: se
e
tem distribuição conhecida, então para cada valor
de
calcula-se
. No nosso caso
toma valores de
a
com probabilidade
cada.
Vamos calcular
valor a valor do
:
- Se
então . - Se
então . - Se
então . - Se
então . - Se
então . - Se
então .
Agora agrupamos as pré-imagens para cada valor de
:
-
ocorre somente quando . Assim . -
ocorre quando ou . Assim . -
ocorre quando ou . Assim . -
ocorre somente quando . Assim .
Conferência rápida:
. Está consistente.
Passo 3
Agora vamos achar a função de probabilidade de
. Primeiro, entendimento prático: para um dado
, o evento
significa que tanto
quanto
são maiores ou iguais a
. Como
e
são independentes com
(por exemplo para
, valores possíveis são
, que são
valores, então probabilidade
), segue:
Para obter
usamos a diferença entre níveis:
Isso vale porque os eventos
são aninhados e a probabilidade de
ser exatamente
é a queda entre os níveis
e
.
Passo 4
Calculemos
para cada
usando a fórmula acima.
Para
:
Logo
Para
:
logo
Para
:
logo
Para
:
logo
Para
:
logo
Para
:
logo
Conferência: somando
, está correto.
Passo 5
Agora aprendendo sobre probabilidade condicionada: para dois eventos
e
com
,
No nosso problema queremos
. Aqui o evento
é equivalente a
(ver Passo 2). Então precisamos de
.
Vamos analisar caso a caso:
- Se
e qualquer , então , nunca dá . Logo não contribui para a interseção. - Se
, para que é necessário que . Assim somente o par ordenado satisfaz simultaneamente (porque ) e .
A probabilidade do par ordenado
é
(dados independentes e uniformes). Portanto
Do Passo 2 sabemos que
. Aplicando a definição da probabilidade condicionada:
Resposta
(a)
\n
(a) \n
(b)
(a)
(b)