Dois dados são jogados. Suponha que os 36 possíveis resultados sejam equiprováveis. Considere as seguintes variáveis aleatórias:
W é igual ao número de pontos no primeiro dado;
X é igual ao número de pontos no segundo dado;
Y=(W-3)^{2};
Z=\min (W, X).
a) Determine as funções de probabilidade de Y e Z.
b) Determine P(Z=2 \mid Y=4).

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) Determinar as funções de probabilidade (pmf) de Y e de Z.
  • (b) Calcular P(Z=2\mid Y=4).
Informações dadas (pegar do enunciado):
  • Dois dados justos são lançados; os 36 resultados ordenados (W,X) são equiprováveis.
  • A variável aleatória W é o número de pontos no primeiro dado; logo \Pr(W=i)=\tfrac{1}{6} para i\in\{1,2,3,4,5,6\}.
  • A variável aleatória X é o número de pontos no segundo dado; independente de W e igualmente distribuída.
  • A variável Y é dada por Y=(W-3)^{2}.
  • A variável Z é dada por Z=\min(W,X).

Passo 2

Explicando como obter a função de probabilidade de uma variável discreta que é função de outra: se Y=g(W) e W tem distribuição conhecida, então para cada valor y de Y calcula-se \Pr(Y=y)=\sum_{w:\,g(w)=y}\Pr(W=w). No nosso caso W toma valores de 1 a 6 com probabilidade \tfrac{1}{6} cada.
Vamos calcular Y=(W-3)^{2} valor a valor do W:
  • Se W=1 então Y=(1-3)^{2}=(-2)^{2}=4.
  • Se W=2 então Y=(2-3)^{2}=(-1)^{2}=1.
  • Se W=3 então Y=(3-3)^{2}=0^{2}=0.
  • Se W=4 então Y=(4-3)^{2}=1^{2}=1.
  • Se W=5 então Y=(5-3)^{2}=2^{2}=4.
  • Se W=6 então Y=(6-3)^{2}=3^{2}=9.
Agora agrupamos as pré-imagens para cada valor de Y:
  • Y=0 ocorre somente quando W=3. Assim \Pr(Y=0)=\Pr(W=3)=\tfrac{1}{6}.
  • Y=1 ocorre quando W=2 ou W=4. Assim \Pr(Y=1)=\Pr(W=2)+\Pr(W=4)=\tfrac{1}{6}+\tfrac{1}{6}=\tfrac{2}{6}=\tfrac{1}{3}.
  • Y=4 ocorre quando W=1 ou W=5. Assim \Pr(Y=4)=\tfrac{1}{6}+\tfrac{1}{6}=\tfrac{1}{3}.
  • Y=9 ocorre somente quando W=6. Assim \Pr(Y=9)=\tfrac{1}{6}.
Conferência rápida: \tfrac{1}{6}+\tfrac{1}{3}+\tfrac{1}{3}+\tfrac{1}{6}=1. Está consistente.

Passo 3

Agora vamos achar a função de probabilidade de Z=\min(W,X). Primeiro, entendimento prático: para um dado k\in\{1,\dots,6\}, o evento \{Z\ge k\} significa que tanto W quanto X são maiores ou iguais a k. Como W e X são independentes com \Pr(\text{valor}\ge k)=\tfrac{7-k}{6} (por exemplo para k=3, valores possíveis são 3,4,5,6, que são 4 valores, então probabilidade \tfrac{4}{6}), segue:
\Pr(Z\ge k)=\Pr(W\ge k \text{ e } X\ge k)=\left(\frac{7-k}{6}\right)^{2}.
Para obter \Pr(Z=k) usamos a diferença entre níveis:
\Pr(Z=k)=\Pr(Z\ge k)-\Pr(Z\ge k+1).
Isso vale porque os eventos \{Z\ge k\} são aninhados e a probabilidade de Z ser exatamente k é a queda entre os níveis k e k+1.

Passo 4

Calculemos \Pr(Z=k) para cada k\in\{1,2,3,4,5,6\} usando a fórmula acima.
Para k=1:
\Pr(Z\ge1)=\left(\frac{6}{6}\right)^{2}=1,\qquad \Pr(Z\ge2)=\left(\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{25}{36}.
Logo
\Pr(Z=1)=1-\frac{25}{36}=\frac{11}{36}.
Para k=2:
\Pr(Z\ge2)=\frac{25}{36},\qquad \Pr(Z\ge3)=\left(\frac{4}{6}\right)^{2}=\frac{16}{36},
logo
\Pr(Z=2)=\frac{25}{36}-\frac{16}{36}=\frac{9}{36}=\frac{1}{4}.
Para k=3:
\Pr(Z\ge3)=\frac{16}{36},\qquad \Pr(Z\ge4)=\left(\frac{3}{6}\right)^{2}=\frac{9}{36},
logo
\Pr(Z=3)=\frac{16}{36}-\frac{9}{36}=\frac{7}{36}.
Para k=4:
\Pr(Z\ge4)=\frac{9}{36},\qquad \Pr(Z\ge5)=\left(\frac{2}{6}\right)^{2}=\frac{4}{36},
logo
\Pr(Z=4)=\frac{9}{36}-\frac{4}{36}=\frac{5}{36}.
Para k=5:
\Pr(Z\ge5)=\frac{4}{36},\qquad \Pr(Z\ge6)=\left(\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{1}{36},
logo
\Pr(Z=5)=\frac{4}{36}-\frac{1}{36}=\frac{3}{36}=\frac{1}{12}.
Para k=6:
\Pr(Z\ge6)=\frac{1}{36},\qquad \Pr(Z\ge7)=0,
logo
\Pr(Z=6)=\frac{1}{36}.
Conferência: somando \tfrac{11+9+7+5+3+1}{36}=\tfrac{36}{36}=1, está correto.

Passo 5

Agora aprendendo sobre probabilidade condicionada: para dois eventos A e B com \Pr(B)>0,
\Pr(A\mid B)=\frac{\Pr(A\cap B)}{\Pr(B)}.
No nosso problema queremos \Pr(Z=2\mid Y=4). Aqui o evento \{Y=4\} é equivalente a \{W\in\{1,5\}\} (ver Passo 2). Então precisamos de \Pr(\{Z=2\}\cap\{W\in\{1,5\}\}).
Vamos analisar caso a caso:
  • Se W=1 e qualquer X, então \min(W,X)=1, nunca dá Z=2. Logo W=1 não contribui para a interseção.
  • Se W=5, para que \min(5,X)=2 é necessário que X=2. Assim somente o par ordenado (W,X)=(5,2) satisfaz simultaneamente Y=4 (porque W=5) e Z=2.
A probabilidade do par ordenado (W,X)=(5,2) é \tfrac{1}{6}\cdot\tfrac{1}{6}=\tfrac{1}{36} (dados independentes e uniformes). Portanto
\Pr(Z=2\\ \text{e}\\ Y=4)=\frac{1}{36}.
Do Passo 2 sabemos que \Pr(Y=4)=\tfrac{1}{3}=\tfrac{12}{36}. Aplicando a definição da probabilidade condicionada:
\Pr(Z=2\mid Y=4)=\frac{\tfrac{1}{36}}{\tfrac{12}{36}}=\frac{1}{12}.

Resposta

(a) \Pr(Y=0)=\tfrac{1}{6},\quad \Pr(Y=1)=\tfrac{1}{3},\quad \Pr(Y=4)=\tfrac{1}{3},\quad \Pr(Y=9)=\tfrac{1}{6}.\n
(a) \Pr(Z=1)=\tfrac{11}{36},\\ \Pr(Z=2)=\tfrac{9}{36}=\tfrac{1}{4},\\ \Pr(Z=3)=\tfrac{7}{36},\\ \Pr(Z=4)=\tfrac{5}{36},\\ \Pr(Z=5)=\tfrac{3}{36}=\tfrac{1}{12},\\ \Pr(Z=6)=\tfrac{1}{36}.\n
(b) \Pr(Z=2\mid Y=4)=\tfrac{1}{12}.

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