Uma variável aleatória contínua X tem densidade:
f(x)=\left\{\begin{array}{cl} c\left(1-x^{2}\right), & -1 \leq x \leq 1 \\\\ 0, & \text { caso contrário. } \end{array}\right.á
  1. Determine o valor de c.
  2. Calcule P(X>0).

Passo 1

O enunciado fornece a densidade de probabilidade
f(x)=\left\{\begin{array}{cl} c\left(1-x^{2}\right), & -1 \leq x \leq 1 \\\\ 0, & \text{caso contrário.} \end{array}\right.á
As perguntas são:
  1. Determinar o valor de c.
  2. Calcular P(X>0).
Informações relevantes dadas e/ou implicadas:
  • A função f(x) é uma densidade de probabilidade, logo deve satisfazer duas condições: f(x)\ge 0 para todo x e \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1.
  • A função 1-x^{2} é não negativa no intervalo [-1,1], então c deve ser positivo para f ser uma densidade válida.
  • O suporte (onde f é não nula) é o intervalo [-1,1].

Passo 2

Usamos a condição de normalização da densidade: a área total sob f deve ser 1. Escrevemos
\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = \int_{-1}^{1} c(1-x^{2})\,dx = 1.
Para resolver a integral, primeiro encontramos uma primitiva de 1-x^{2}. Lembrando que a primitiva de 1 é x e a primitiva de x^{2} é \dfrac{x^{3}}{3}, temos
\int (1-x^{2})\,dx = x - \frac{x^{3}}{3} + C.
Agora avaliamos a primitiva entre os limites -1 e 1:
\left[x - \frac{x^{3}}{3}\right]_{-1}^{1} = \left(1 - \frac{1^{3}}{3}\right) - \left(-1 - \frac{(-1)^{3}}{3}\right).
Compute passo a passo os valores:
1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3},
-1 - \frac{-1}{3} = -1 + \frac{1}{3} = -\frac{2}{3}.
Subtraindo:
\frac{2}{3} - \left(-\frac{2}{3}\right) = \frac{4}{3}.
Logo a integral vale \dfrac{4}{3} multiplicada por c. Impondo que isso seja 1,
c\cdot \frac{4}{3} = 1 \quad\Rightarrow\quad c = \frac{3}{4}.

Passo 3

Agora calculamos P(X>0). Por definição,
P(X>0) = \int_{0}^{\infty} f(x)\,dx = \int_{0}^{1} c(1-x^{2})\,dx,
pois fora de [0,1] a densidade é zero. Usamos o mesmo procedimento: a primitiva é x - \dfrac{x^{3}}{3}, então
\int_{0}^{1} (1-x^{2})\,dx = \left[x - \frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{1} = \left(1 - \frac{1}{3}\right) - 0 = \frac{2}{3}.
Multiplicando por c=\dfrac{3}{4},
P(X>0) = \frac{3}{4}\cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{2}.
Observação alternativa (rápida e útil na prova): a função 1-x^{2} é par (ou seja, 1-(-x)^{2}=1-x^{2}), portanto a densidade é simétrica em torno de 0 e as probabilidades de X cair em [0,1] e em [-1,0] são iguais. Como a soma dessas duas probabilidades é 1, cada uma vale 1/2.

Resposta

c=\dfrac{3}{4}
P(X>0)=\dfrac{1}{2}

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