0 número de chamadas recebidas por uma central telefônica em 10 minutos segue
. Qual a probabilidade de receber no máximo 5 chamadas nesse intervalo?
Passo 1
O enunciado dá que o número de chamadas recebidas em 10 minutos segue uma distribuição de Poisson com parâmetro
. A pergunta é: “Qual a probabilidade de receber no máximo 5 chamadas nesse intervalo?” Portanto queremos calcular a probabilidade
onde
é a variável aleatória que conta o número de chamadas e
. As informações relevantes são:
e o evento pedido é “no máximo 5 chamadas”, ou seja
ou
.
Passo 2
Vou te ensinar o que é a distribuição de Poisson e a fórmula que vamos usar. A Poisson modela o número de ocorrências de eventos em um intervalo fixo quando esses eventos ocorrem de forma independente e com taxa média constante. O parâmetro
representa a média e a variância da distribuição:
e
.
A fórmula da função massa de probabilidade (pmf) é
onde:
-
é um número inteiro não negativo ( ); -
é a base dos logaritmos naturais ( ); -
é o fatorial de (por exemplo, ); -
é o parâmetro dado, aqui .
Passo 3
Queremos a probabilidade acumulada até
. Usando a pmf, escrevemos
Substituindo
,
Explicar como calcular cada termo à mão: em vez de calcular potências e fatoriais isoladamente, uma maneira prática é calcular os termos sequencialmente usando a relação
onde
. Começamos por
.
Passo 4
Calculemos os termos
passo a passo. Vou usar o valor conhecido
(valor aproximado suficiente para fazer soma à mão com boa precisão).
Usando
:
Observação rápida sobre os fatoriais (caso prefira calcular diretamente):
. Por exemplo,
, que dá exatamente o mesmo
que calculamos acima.
Passo 5
Agora somamos os termos
a
para obter
. Somando com cuidado:
Arredondando para uma precisão razoável (por exemplo 4 ou 5 casas decimais) podemos apresentar
.]