0 número de chamadas recebidas por uma central telefônica em 10 minutos segue \operatorname{Poisson}(\lambda=8). Qual a probabilidade de receber no máximo 5 chamadas nesse intervalo?

Passo 1

O enunciado dá que o número de chamadas recebidas em 10 minutos segue uma distribuição de Poisson com parâmetro \lambda=8. A pergunta é: “Qual a probabilidade de receber no máximo 5 chamadas nesse intervalo?” Portanto queremos calcular a probabilidade
P(X \le 5),
onde X é a variável aleatória que conta o número de chamadas e X \sim \operatorname{Poisson}(\lambda=8). As informações relevantes são: \lambda=8 e o evento pedido é “no máximo 5 chamadas”, ou seja X=0,1,2,3,4 ou 5.

Passo 2

Vou te ensinar o que é a distribuição de Poisson e a fórmula que vamos usar. A Poisson modela o número de ocorrências de eventos em um intervalo fixo quando esses eventos ocorrem de forma independente e com taxa média constante. O parâmetro \lambda representa a média e a variância da distribuição: \mathbb{E}[X]=\lambda e \operatorname{Var}(X)=\lambda.
A fórmula da função massa de probabilidade (pmf) é
P(X=k)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^{k}}{k!},
onde:
  • k é um número inteiro não negativo ( k=0,1,2,\dots);
  • e é a base dos logaritmos naturais ( e\approx 2{,}71828);
  • k! é o fatorial de k (por exemplo, 0!=1,\;1!=1,\;2!=2,\;3!=6,\;4!=24,\;5!=120);
  • \lambda é o parâmetro dado, aqui \lambda=8.

Passo 3

Queremos a probabilidade acumulada até 5. Usando a pmf, escrevemos
P(X\le 5)=\sum_{k=0}^{5} e^{-\lambda}\frac{\lambda^{k}}{k!}.
Substituindo \lambda=8,
P(X\le 5)=\sum_{k=0}^{5} e^{-8}\frac{8^{k}}{k!} = e^{-8}\left(\frac{8^{0}}{0!}+\frac{8^{1}}{1!}+\frac{8^{2}}{2!}+\frac{8^{3}}{3!}+\frac{8^{4}}{4!}+\frac{8^{5}}{5!}\right).
Explicar como calcular cada termo à mão: em vez de calcular potências e fatoriais isoladamente, uma maneira prática é calcular os termos sequencialmente usando a relação
p_{k+1}=p_k\cdot\frac{\lambda}{k+1},
onde p_k=e^{-8}\frac{8^{k}}{k!}. Começamos por p_0=e^{-8}\frac{8^0}{0!}=e^{-8}.

Passo 4

Calculemos os termos p_0,p_1,\dots,p_5 passo a passo. Vou usar o valor conhecido e^{-8}\approx 0{,}00033546262790251185 (valor aproximado suficiente para fazer soma à mão com boa precisão).
  • p_0 = e^{-8}\approx 0{,}00033546262790251185.
Usando p_{k+1}=p_k\cdot\frac{8}{k+1}:
  • p_1 = p_0\cdot\frac{8}{1}=8p_0\approx 8\cdot 0{,}00033546262790251185 = 0{,}0026837010232200948.
  • p_2 = p_1\cdot\frac{8}{2}=4p_1\approx 4\cdot 0{,}0026837010232200948 = 0{,}0107348048928803792.
  • p_3 = p_2\cdot\frac{8}{3}\approx \frac{8}{3}\cdot 0{,}0107348048928803792 = 0{,}0286261463810143445.
  • p_4 = p_3\cdot\frac{8}{4}=2p_3\approx 2\cdot 0{,}0286261463810143445 = 0{,}057252292762028689.
  • p_5 = p_4\cdot\frac{8}{5}=1{,}6\;p_4\approx 1{,}6\cdot 0{,}057252292762028689 = 0{,}0916036684192459024.
Observação rápida sobre os fatoriais (caso prefira calcular diretamente): 0!=1,\;1!=1,\;2!=2,\;3!=6,\;4!=24,\;5!=120. Por exemplo, e^{-8}\frac{8^3}{3!}=e^{-8}\frac{512}{6}, que dá exatamente o mesmo p_3 que calculamos acima.

Passo 5

Agora somamos os termos p_0 a p_5 para obter P(X\le5). Somando com cuidado:
\begin{aligned} P(X\le5)&=p_0+p_1+p_2+p_3+p_4+p_5\\[4pt] &\approx 0{,}00033546262790251185\\\ &\quad+0{,}0026837010232200948\\\ &\quad+0{,}0107348048928803792\\\ &\quad+0{,}0286261463810143445\\\ &\quad+0{,}057252292762028689\\\ &\quad+0{,}0916036684192459024\\[4pt] &\approx 0{,}1912360761062919223. \end{aligned}
Arredondando para uma precisão razoável (por exemplo 4 ou 5 casas decimais) podemos apresentar P(X\le5)\approx 0{,}19124.]

Resposta

P(X\le5)=0{,}1912360761

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