0 tempo (em minutos) que um cliente espera por atendimento segue uma distribuição exponencial com parâmetro \lambda=0,25.
  1. Qual é a probabilidade de o cliente esperar menos de 5 minutos?
  2. Qual é o tempo médio de espera?

Passo 1

O enunciado dá o tempo de espera T (em minutos) de um cliente que segue uma distribuição exponencial com parâmetro \lambda = 0,25. Perguntas do exercício:
  1. Qual é a probabilidade de o cliente esperar menos de 5 minutos?
  2. Qual é o tempo médio de espera?
    Informações relevantes fornecidas: \lambda = 0,25 e o valor do tempo para a probabilidade é 5 minutos.

Passo 2

Vamos entender a função que descreve a distribuição exponencial e como obter probabilidades a partir dela. A densidade de probabilidade (pdf) da distribuição exponencial é dada por
f_T(t)=\lambda e^{-\lambda t},\qquad t\ge 0,
onde \lambda é a taxa (parâmetro) da distribuição e t é o tempo em minutos. A função de distribuição acumulada (CDF), que dá a probabilidade de T ser menor que um certo valor t, é obtida integrando a densidade de 0 até t:
F_T(t)=P(T\le t)=\int_{0}^{t}\lambda e^{-\lambda x}\,dx.
Fazer essa integral nos dá a forma fechada da CDF, que é útil para calcular P(T<5).

Passo 3

Calculemos explicitamente a CDF a partir da integral. Integrando por primitiva,
\int_{0}^{t}\lambda e^{-\lambda x}\,dx = \bigl[-e^{-\lambda x}\bigr]_{0}^{t}=1-e^{-\lambda t}.
Portanto a CDF é
F_T(t)=1-e^{-\lambda t}.
Para a probabilidade pedida, usamos t=5:
P(T<5)=F_T(5)=1-e^{-\lambda\cdot 5}.

Passo 4

Agora substituímos \lambda=0,25 na expressão e fazemos as contas passo a passo:
-\lambda\cdot 5 = -0,25\cdot 5 = -1,25,
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P(T<5)=1-e^{-1,25}.
Para obter um valor numérico aproximado, usamos e^{-1,25}=e^{-1}\cdot e^{-0,25}. Conhecendo aproximações úteis e^{-1}\approx 0,367879 e e^{-0,25}\approx 0,778801, multiplicamos:
e^{-1,25}\approx 0,367879\cdot 0,778801\approx 0,286505.
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P(T<5)\approx 1-0,286505\approx 0,713495\approx 0,7135.
Interpretação rápida: cerca de 71{,}35\% dos clientes esperam menos de 5 minutos.

Passo 5

Agora calculamos o tempo médio de espera (a esperança matemática E[T]). A definição é
E[T]=\int_{0}^{\infty} t\,f_T(t)\,dt=\int_{0}^{\infty} t\lambda e^{-\lambda t}\,dt.
Vamos calcular essa integral usando integração por partes. Escolhemos
u=t,\qquad dv=\lambda e^{-\lambda t}\,dt.
Então
du=dt,\qquad v=\int \lambda e^{-\lambda t}\,dt=-e^{-\lambda t}.
Aplicando a fórmula da integração por partes \int u\,dv = uv - \int v\,du, obtemos
\int_{0}^{\infty} t\lambda e^{-\lambda t}\,dt = \bigl[-t e^{-\lambda t}\bigr]_{0}^{\infty} + \int_{0}^{\infty} e^{-\lambda t}\,dt.
A primeira parcela vale 0 porque \lim_{t\to\infty} t e^{-\lambda t}=0 (a exponencial domina o termo linear) e no 0 0. A segunda integral é
\int_{0}^{\infty} e^{-\lambda t}\,dt = \left[-\frac{1}{\lambda} e^{-\lambda t}\right]_{0}^{\infty} = \frac{1}{\lambda}.
Portanto
E[T]=\frac{1}{\lambda}.

Passo 6

Substituímos \lambda=0,25 em E[T]=1/\lambda:
E[T]=\frac{1}{0,25}=4.
Portanto o tempo médio de espera é 4 minutos. Intuição rápida: quando \lambda é menor, a média 1/\lambda é maior — taxas pequenas significam esperas maiores.

Resposta

P(T<5)=1-e^{-1,25}\approx 0,7135
Tempo médio E[T]=4 minutos

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