0 tempo (em minutos) que um cliente espera por atendimento segue uma distribuição exponencial com parâmetro
.
- Qual é a probabilidade de o cliente esperar menos de 5 minutos?
- Qual é o tempo médio de espera?
Passo 1
O enunciado dá o tempo de espera
(em minutos) de um cliente que segue uma distribuição exponencial com parâmetro
. Perguntas do exercício:
- Qual é a probabilidade de o cliente esperar menos de
minutos? - Qual é o tempo médio de espera?
Informações relevantes fornecidas:e o valor do tempo para a probabilidade é minutos.
Passo 2
Vamos entender a função que descreve a distribuição exponencial e como obter probabilidades a partir dela. A densidade de probabilidade (pdf) da distribuição exponencial é dada por
onde
é a taxa (parâmetro) da distribuição e
é o tempo em minutos. A função de distribuição acumulada (CDF), que dá a probabilidade de
ser menor que um certo valor
, é obtida integrando a densidade de
até
:
Fazer essa integral nos dá a forma fechada da CDF, que é útil para calcular
.
Passo 3
Calculemos explicitamente a CDF a partir da integral. Integrando por primitiva,
Portanto a CDF é
Para a probabilidade pedida, usamos
:
Passo 4
Agora substituímos
na expressão e fazemos as contas passo a passo:
logo
Para obter um valor numérico aproximado, usamos
. Conhecendo aproximações úteis
e
, multiplicamos:
Logo
Interpretação rápida: cerca de
dos clientes esperam menos de
minutos.
Passo 5
Agora calculamos o tempo médio de espera (a esperança matemática
). A definição é
Vamos calcular essa integral usando integração por partes. Escolhemos
Então
Aplicando a fórmula da integração por partes
, obtemos
A primeira parcela vale
porque
(a exponencial domina o termo linear) e no
dá
. A segunda integral é
Portanto
Passo 6
Substituímos
em
:
Portanto o tempo médio de espera é
minutos. Intuição rápida: quando
é menor, a média
é maior — taxas pequenas significam esperas maiores.
Resposta
Tempo médio