1.1. - Variável Aleatória

  • Exemplo 2: Lança-se uma moeda honesta 3 vezes seguidas. Seja X a variável aleatória associada o número de caras obtidas. Determine a probabilidade associada aos eventos
    (a) ( X=0 ), (b) ( X=1 ), (c) ( X=2 ), (d) ( X=3 ), (e) (X \geq 2), (f) (X \geq 0)

Passo 1

O enunciado diz que lançamos uma moeda honesta 3 vezes e definimos a variável aleatória X como o número de caras obtidas. Precisamos encontrar
(a) P(X=0), (b) P(X=1), (c) P(X=2), (d) P(X=3), (e) P(X\ge2) e (f) P(X\ge0).
O conteúdo usado é a distribuição binomial com parâmetros n=3 e p=\tfrac12.

Passo 2

Na distribuição binomial temos
P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{\,n-k}.
Aqui n=3 e p=\tfrac12, logo
P(X=k) =\binom{3}{k}\Bigl(\tfrac12\Bigr)^k\Bigl(\tfrac12\Bigr)^{3-k} =\frac{\binom{3}{k}}{8}.

Passo 3

Calculando para cada k: k=0: \binom{3}{0}=1, então
P(X=0)=\frac{1}{8}. k=1: \binom{3}{1}=3, então
P(X=1)=\frac{3}{8}. k=2: \binom{3}{2}=3, então
P(X=2)=\frac{3}{8}. k=3: \binom{3}{3}=1, então
P(X=3)=\frac{1}{8}.

Passo 4

Para P(X\ge2) somamos
P(X\ge2)=P(X=2)+P(X=3)=\frac{3}{8}+\frac{1}{8}=\frac{4}{8}=\frac12.

Passo 5

Como X toma valores de 0 a 3,
P(X\ge0)=1
(pois cobre todo o espaço amostral).

Resposta

(a) P(X=0)=\tfrac18
(b) P(X=1)=\tfrac38
(c) P(X=2)=\tfrac38
(d) P(X=3)=\tfrac18
(e) P(X\ge2)=\tfrac12
(f) P(X\ge0)=1

Exercícios relacionados