Explique o que acontece quando se altera o nível de confiança para 99 \% utilizando uma distribuição Student?

Passo 1

O enunciado pergunta o que muda se, ao construir um intervalo de confiança para a média usando a distribuição Student, passarmos de um nível usual (por exemplo, 95 %) para um nível de confiança de 99 %. Vamos usar o conceito de intervalo de confiança baseada em Student e ver o efeito sobre o valor crítico, a margem de erro e a largura do intervalo.

Passo 2

Um intervalo de confiança para a média \mu com amostra de tamanho n, média amostral \bar x, desvio-padrão amostral s e graus de liberdade \nu = n-1 é dado por
\bar x \pm t_{1-\alpha/2,\;\nu}\,\frac{s}{\sqrt{n}},
onde \alpha = 1 - (nível de confiança). Para nível de confiança de 99 %, temos \alpha = 0{,}01 e, portanto, usamos o quantil
t_{1-\alpha/2,\;\nu} \;=\; t_{0{,}995,\;\nu}.

Passo 3

Ao aumentar o nível de confiança de 95 % \alpha=0{,}05 para 99 % \alpha=0{,}01, reduzimos \alpha e, consequentemente, o quantil t_{1-\alpha/2,\nu} fica mais “extremo”. Em outras palavras,
t_{0{,}975,\;\nu} \;<\; t_{0{,}995,\;\nu}.
Como o valor crítico t entra multiplicando \tfrac{s}{\sqrt{n}}, o resultado é uma margem de erro maior.

Passo 4

A margem de erro do intervalo é
E = t_{1-\alpha/2,\;\nu}\,\frac{s}{\sqrt{n}}.
Como t_{0{,}995,\nu} > t_{0{,}975,\nu}, então
E_{99\%} > E_{95\%}\,.
Isso faz com que a largura total do intervalo de confiança aumente, ou seja, ele fique mais “largo”.

Passo 5

Em termos práticos, ao passar para 99 % de confiança você ganha mais certeza de que o verdadeiro valor de \mu está dentro do intervalo, mas paga esse “cimento extra” com um intervalo menos preciso (mais extenso).

Resposta

Ao usar 99 % em vez de 95 %, o quantil de Student t_{1-\alpha/2,\nu} aumenta, elevando a margem de erro \bigl(t_{1-\alpha/2,\nu}\,s/\sqrt{n}\bigr) e, consequentemente, alargando o intervalo de confiança.

Exercícios relacionados