Se X é uma variável aleatória exponencial com parâmetro \alpha=1, calcule a função densidade e a função acumulada de probabilidade da variável aleatória Y definida \operatorname{com} Y=\log X.
20. Se X é uma variável aleatória uniforme no intervalo ( 0,1 ), calcule a função densidade e função acumulada de probabilidade da variável aleatória Y definida \operatorname{com} Y=e^{X}.

Passo 1

Resumindo o que temos e o que vamos usar:
– Parte 1: X\sim\text{Exp}(1) (densidade f_{X}(x)=e^{-x}, x>0) e definimos Y=\log X.
– Parte 2: X\sim U(0,1) (densidade f_{X}(x)=1, 0<x<1) e definimos Y=e^{X}.
Em ambas as partes vamos aplicar a transformação de variável: se Y=g(X) é monotônica,
f_{Y}(y)=f_{X}\!\bigl(g^{-1}(y)\bigr)\,\Bigl|\frac{d}{dy}g^{-1}(y)\Bigr|
e a função acumulada F_{Y}(y)=P(Y\le y) via inversão ou integração direta.

Passo 2

(Transformação 1: Y=\log X).
Inverso: X=e^{y}. Suporte: x>0\iff y\in\mathbb{R}.
Derivada do inverso: \tfrac{d}{dy}e^{y}=e^{y}.
Logo, a densidade de Y é
f_{Y}(y) = f_{X}(e^{y})\;\bigl|e^{y}\bigr| = e^{-\,e^{y}}\;e^{y}, \quad y\in\mathbb{R}.

Passo 3

Ainda para Y=\log X, obtemos a acumulada:
F_{Y}(y) = P(Y\le y) = P(\log X\le y) = P(X\le e^{y}) = \int_{0}^{e^{y}}e^{-x}\,dx = 1 - e^{-\,e^{y}}.

Passo 4

(Transformação 2: Y=e^{X}).
Inverso: X=\log y. Suporte original 0<X<1 vira 1<y<e.
Derivada do inverso: \tfrac{d}{dy}\log y=1/y.
Como f_{X}(x)=1 em (0,1), a densidade de Y é
f_{Y}(y) = f_{X}(\log y)\;\Bigl|\frac1y\Bigr| = \frac{1}{y}, \quad 1<y<e,
e zero fora desse intervalo.

Passo 5

Ainda para Y=e^{X}, a acumulada é
F_{Y}(y) = P(Y\le y) = P(e^{X}\le y) = P\bigl(X\le \log y\bigr) = \int_{0}^{\log y}1\,dx = \log y,
para 1<y<e. Para y\le1, F_{Y}(y)=0; para y\ge e, F_{Y}(y)=1.

Resposta

Para X\sim\mathrm{Exp}(1) e Y=\log X:
f_{Y}(y)=e^{y}\,e^{-e^{y}},\quad y\in\mathbb{R};
F_{Y}(y)=1-e^{-e^{y}},\quad y\in\mathbb{R}.
Para X\sim U(0,1) e Y=e^{X}:
f_{Y}(y)= \begin{cases} \dfrac1y,&1<y<e,\\\\ 0,&\text{caso contrário}, \end{cases}á
F_{Y}(y)= \begin{cases} 0,&y\le1,\\\ \log y,&1<y<e,\\\\ 1,&y\ge e. \end{cases}

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