Se X é uma variável aleatória exponencial com parâmetro \alpha=1, calcule a função densidade e a função acumulada de probabilidade da variável aleatória Y definida \operatorname{com} Y=\log X.
20. Se X é uma variável aleatória uniforme no intervalo ( 0,1 ), calcule a função densidade e função acumulada de probabilidade da variável aleatória Y definida \operatorname{com} Y=e^{X}.
Passo 1
Resumindo o que temos e o que vamos usar:
– Parte 1: X\sim\text{Exp}(1) (densidade f_{X}(x)=e^{-x}, x>0) e definimos Y=\log X.
– Parte 2: X\sim U(0,1) (densidade f_{X}(x)=1, 0<x<1) e definimos Y=e^{X}.
Em ambas as partes vamos aplicar a transformação de variável: se Y=g(X) é monotônica,
e a função acumulada F_{Y}(y)=P(Y\le y) via inversão ou integração direta.
Passo 2
(Transformação 1: Y=\log X).
Inverso: X=e^{y}. Suporte: x>0\iff y\in\mathbb{R}.
Derivada do inverso: \tfrac{d}{dy}e^{y}=e^{y}.
Logo, a densidade de Y é
(Transformação 2: Y=e^{X}).
Inverso: X=\log y. Suporte original 0<X<1 vira 1<y<e.
Derivada do inverso: \tfrac{d}{dy}\log y=1/y.
Como f_{X}(x)=1 em (0,1), a densidade de Y é