5-Um estudante é selecionado aleatoriamente. Sejam os eventos.
F=0 estudante é do sexo feminino
A = o estudante está ausente na aula
a)-organize as probabilidades em ordem crescente.
P(F)=x ; P(F \cup A)=y ; P(F \cap A)=z

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou deixar tudo bem claro para a gente não se perder):
  • Evento F: o estudante é do sexo feminino.
  • Evento A: o estudante está ausente na aula.
  • As probabilidades são \;P(F)=x\;,\;P(F\cup A)=y\;,\;P(F\cap A)=z.
    O que a questão pede: organizar essas três quantidades \;x,y,z\; em ordem crescente (ou seja, escrever qual é a menor, a do meio e a maior, lembrando que pode haver igualdades).

Passo 2

Vou lembrar alguns fatos básicos sobre probabilidades que vamos usar (explicando bem cada um):
  • Toda probabilidade está no intervalo [0,1]. Isso quer dizer que \;0\le x\le1, \;0\le y\le1 e \;0\le z\le1.
  • Se um evento B está contido em C (escrevemos B\subseteq C), então \;P(B)\le P\text{(C)}. A ideia é simples: o evento menor não pode ocorrer com maior chance que o evento que o contém.
  • A interseção de dois eventos está sempre contida em cada um deles: F\cap A\subseteq F e F\cap A\subseteq A. Portanto a probabilidade da interseção não pode ser maior que a probabilidade de cada um: \;P(F\cap A)\le P(F) e \;P(F\cap A)\le P(A). No nosso notação: \;z\le x e \;z\le P(A).
  • A união de dois eventos contém cada um deles: F\subseteq F\cup A e A\subseteq F\cup A. Logo a probabilidade da união é pelo menos a probabilidade de cada um: \;P(F)\le P(F\cup A) e \;P(A)\le P(F\cup A). Em notação: \;x\le y e \;P(A)\le y.
  • Fórmula prática que relaciona união, interseção e probabilidades individuais:
P(F\cup A)=P(F)+P(A)-P(F\cap A).
Usando as letras do enunciado, isso é
y = x + P(A) - z.

Passo 3

Agora vou usar as ideias acima para obter desigualdades entre x,y,z. Primeiro, da propriedade de subconjunto aplicada à interseção temos diretamente
z = P(F\cap A) \le P(F) = x.
Explicando em palavras: a probabilidade de ocorrer “ser mulher e estar ausente” não pode ser maior do que a probabilidade de “ser mulher” sozinha — faz sentido, né? Se só quem é mulher pode estar ausente (hipótese extrema), aí sim são iguais; no geral a interseção é menor.

Passo 4

Mostro agora que x\le y. Parto da fórmula da união escrita no Passo 2:
y = x + P(A) - z.
Reescrevo P(A) como P(A)=P(A\cap F)+P(A\setminus F)=z+P(A\setminus F). Substituindo na fórmula da união:
y = x + \bigl(z+P(A\setminus F)\bigr) - z = x + P(A\setminus F).
Como P(A\setminus F)\ge 0 (probabilidade não é negativa), concluímos que y \ge x. Em palavras: a união F\cup A custa pelo menos a probabilidade de F; adicionar mais possibilidades (o que A traz além de F) só aumenta ou mantém o valor.

Passo 5

Juntando os resultados que já temos: do Passo 3 veio z\le x. Do Passo 4 veio x\le y. Também por inclusão direta temos z\le y (pois F\cap A\subseteq F\cup A). Assim obtemos a cadeia de desigualdades
z \le x \le y.
Posso comentar rápido sobre casos de igualdade, para você reconhecer na prova quando poderá ocorrer igualdade:
  • z=x acontece quando F\cap A tem a mesma probabilidade que F, ou seja, quando F\subseteq A (todas as mulheres estão ausentes).
  • x=y acontece quando F\cup A tem a mesma probabilidade que F, ou seja, quando A\subseteq F (todo ausente está entre as mulheres).
  • z=y só acontece se todos os três eventos tiverem a mesma probabilidade, o que exige F=A (os eventos são iguais).
    Exemplo numérico rápido pra fixar: se x=0,4, z=0,1 e P(A\setminus F)=0,2, então y=x+0,2=0,6 e a ordem é 0,1=z\le0,4=x\le0,6=y.

Resposta

P(F\cap A)=z \le P(F)=x \le P(F\cup A)=y

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