5-Um estudante é selecionado aleatoriamente. Sejam os eventos.
estudante é do sexo feminino
A = o estudante está ausente na aula
a)-organize as probabilidades em ordem crescente.
A = o estudante está ausente na aula
a)-organize as probabilidades em ordem crescente.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (vou deixar tudo bem claro para a gente não se perder):
- Evento
: o estudante é do sexo feminino. - Evento
: o estudante está ausente na aula. - As probabilidades são
.
O que a questão pede: organizar essas três quantidadesem ordem crescente (ou seja, escrever qual é a menor, a do meio e a maior, lembrando que pode haver igualdades).
Passo 2
Vou lembrar alguns fatos básicos sobre probabilidades que vamos usar (explicando bem cada um):
- Toda probabilidade está no intervalo
. Isso quer dizer que , e . - Se um evento
está contido em (escrevemos ), então . A ideia é simples: o evento menor não pode ocorrer com maior chance que o evento que o contém. - A interseção de dois eventos está sempre contida em cada um deles:
e . Portanto a probabilidade da interseção não pode ser maior que a probabilidade de cada um: e . No nosso notação: e . - A união de dois eventos contém cada um deles:
e . Logo a probabilidade da união é pelo menos a probabilidade de cada um: e . Em notação: e . - Fórmula prática que relaciona união, interseção e probabilidades individuais:
Usando as letras do enunciado, isso é
Passo 3
Agora vou usar as ideias acima para obter desigualdades entre
. Primeiro, da propriedade de subconjunto aplicada à interseção temos diretamente
Explicando em palavras: a probabilidade de ocorrer “ser mulher e estar ausente” não pode ser maior do que a probabilidade de “ser mulher” sozinha — faz sentido, né? Se só quem é mulher pode estar ausente (hipótese extrema), aí sim são iguais; no geral a interseção é menor.
Passo 4
Mostro agora que
. Parto da fórmula da união escrita no Passo 2:
Reescrevo
como
. Substituindo na fórmula da união:
Como
(probabilidade não é negativa), concluímos que
Em palavras: a união
custa pelo menos a probabilidade de
; adicionar mais possibilidades (o que
traz além de
) só aumenta ou mantém o valor.
Passo 5
Juntando os resultados que já temos: do Passo 3 veio
. Do Passo 4 veio
. Também por inclusão direta temos
(pois
). Assim obtemos a cadeia de desigualdades
Posso comentar rápido sobre casos de igualdade, para você reconhecer na prova quando poderá ocorrer igualdade:
-
acontece quando tem a mesma probabilidade que , ou seja, quando (todas as mulheres estão ausentes). -
acontece quando tem a mesma probabilidade que , ou seja, quando (todo ausente está entre as mulheres). -
só acontece se todos os três eventos tiverem a mesma probabilidade, o que exige (os eventos são iguais).
Exemplo numérico rápido pra fixar: se, e , então e a ordem é .