A variável aleatória
é normalmente distribuída com média 60 e variância 64. Determinar:
a)
;
b)
a)
b)
Passo 1
O enunciado dá que a variável aleatória
é normalmente distribuída com média
e variância
. Ele pede duas probabilidades:
a) ;
b) .
a)
b)
Informações relevantes dadas:
-
(média); -
(variância), o que nos permite obter o desvio-padrão; - Precisamos transformar eventos sobre
em eventos sobre a normal padrão para consultar probabilidades.
Passo 2
Explicação didática da ferramenta que vamos usar (padronização):
- A distribuição normal com média
e desvio-padrão é escrita como . - Para usar tabelas (ou propriedades) da normal padrão, definimos a variável padronizada
Aqui
é a média de
e
é o desvio-padrão (a raiz quadrada da variância). A variável
segue a distribuição normal padrão
, ou seja, média
e desvio-padrão
.
- Denotamos por
a função de distribuição acumulada da normal padrão. - Uma propriedade útil da normal padrão é a simetria:
. Isso facilita cálculos do tipo . - Observação prática: muitas probabilidades usuais aparecem para
( ) e ( ). Essas são tabelas que costuma-se ter na prova.
Passo 3
Calcular o desvio-padrão
a partir da variância dada:
Então podemos padronizar usando
e
.
Passo 4
Resolver (a)
passo a passo:
- Padronizo o valor
usando a fórmula :
- Portanto
- Usando a tabela da normal padrão (ou valores tabulados), obtemos
- Conclusão intermediária:
.
Passo 5
Resolver (b)
passo a passo:
- A desigualdade
é equivalente a
- Padronizando os extremos:
- Assim
- Usando a simetria
, obtemos
- Com
,
- Conclusão intermediária:
. (Isto coincide com a regra prática “aproximadamente 68% dentro de ”.)
Resposta
a)
b)
b)