A variável aleatória X é normalmente distribuída com média 60 e variância 64. Determinar:
a) P(X \leq 74);
b) P(|X-60| \leq 8)

Passo 1

O enunciado dá que a variável aleatória X é normalmente distribuída com média 60 e variância 64. Ele pede duas probabilidades:
a) P(X \leq 74);
b) P(|X-60| \leq 8).
Informações relevantes dadas:
  • \mu = 60 (média);
  • \mathrm{Var}(X)=64 (variância), o que nos permite obter o desvio-padrão;
  • Precisamos transformar eventos sobre X em eventos sobre a normal padrão para consultar probabilidades.

Passo 2

Explicação didática da ferramenta que vamos usar (padronização):
  • A distribuição normal com média \mu e desvio-padrão \sigma é escrita como X\sim N(\mu,\sigma^2).
  • Para usar tabelas (ou propriedades) da normal padrão, definimos a variável padronizada
Z=\frac{X-\mu}{\sigma}.
Aqui \mu é a média de X e \sigma é o desvio-padrão (a raiz quadrada da variância). A variável Z segue a distribuição normal padrão N(0,1), ou seja, média 0 e desvio-padrão 1.
  • Denotamos por \Phi(z)=P(Z\leq z) a função de distribuição acumulada da normal padrão.
  • Uma propriedade útil da normal padrão é a simetria: \Phi(-a)=1-\Phi(a). Isso facilita cálculos do tipo P(-a\le Z\le a)=2\Phi(a)-1.
  • Observação prática: muitas probabilidades usuais aparecem para z=1 ( \Phi(1)\approx 0,8413) e z=1,75 ( \Phi(1,75)\approx 0,9599). Essas são tabelas que costuma-se ter na prova.

Passo 3

Calcular o desvio-padrão \sigma a partir da variância dada:
\sigma=\sqrt{\mathrm{Var}(X)}=\sqrt{64}=8.
Então podemos padronizar usando \sigma=8 e \mu=60.

Passo 4

Resolver (a) P(X\leq 74) passo a passo:
  • Padronizo o valor 74 usando a fórmula \;Z=(X-\mu)/\sigma\;:
z=\frac{74-60}{8}=\frac{14}{8}=1{,}75.
  • Portanto
P(X\leq 74)=P\!\left(Z\leq 1{,}75\right)=\Phi(1{,}75).
  • Usando a tabela da normal padrão (ou valores tabulados), obtemos
\Phi(1{,}75)\approx 0{,}9599.
  • Conclusão intermediária: P(X\leq 74)\approx 0{,}9599.

Passo 5

Resolver (b) P(|X-60|\leq 8) passo a passo:
  • A desigualdade |X-60|\leq 8 é equivalente a
-8\leq X-60\leq 8 \quad\text{ou}\quad 52\leq X\leq 68.
  • Padronizando os extremos:
z_{\text{inf}}=\frac{52-60}{8}=\frac{-8}{8}=-1,\qquad z_{\text{sup}}=\frac{68-60}{8}=\frac{8}{8}=1.
  • Assim
P(52\leq X\leq 68)=P(-1\leq Z\leq 1)=\Phi(1)-\Phi(-1).
  • Usando a simetria \Phi(-1)=1-\Phi(1), obtemos
\Phi(1)-\Phi(-1)=\Phi(1)-(1-\Phi(1))=2\Phi(1)-1.
  • Com \Phi(1)\approx 0{,}8413,
2\cdot 0{,}8413 -1 =0{,}6826.
  • Conclusão intermediária: P(|X-60|\leq 8)\approx 0{,}6826. (Isto coincide com a regra prática “aproximadamente 68% dentro de 1\sigma”.)

Resposta

a) 0{,}9599
b) 0{,}6826

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